Решение уравнений методом введения новой переменной

Задача.

Решите уравнение:

x³+1/x³=22(x+1/x)

Решение.

Пусть у = х+1/х, х≠0.

Используя формулы суммы кубов и квадрата суммы,

получим:

x³+1/x³=(x+1/x)*(x²-x*1/x+1/x²)= (x+1/x)*(x² +1/x²-1)=

=(x+1/x)*(x² +2*x*1/x+1/x²-3)= (x+1/x)*((x+1/x)²-3)

С учетом новой переменной:

x³+1/x³=y*(y²-3)

Уравнение теперь будет иметь вид:

y*(y²-3)=22y

y*(y²-3)-22y=0

y*(y²-25)=0

y*(y-5)*(y+5)=0

y=0 или у=5 или у=-5

х+1/х=0	х+1/х=5	х+1/х=-5
х=-1/х x2=-1	x2-5х+1=0 D=25-4*1=21	x2+5х+1=0 D=25-4*1=21
x1=i x2=-i	x3=(5+√ 21)/2 x4=(5-√ 21)/2	x5=(-5+√ 21)/2 x6=(-5-√ 21)/2

Ответ:

x₁=i; x₂=-i; x₃=(5+√ 21)/2; x₄=(5-√ 21)/2; x₅=(-5+√ 21)/2; x₆=(-5-√ 21)/2.

Серединные перпендикуляры

Задача.
Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Решение.
Если многоугольник правильный, то возле него всегда можно описать окружность. Центром описанной около многоугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (т.О). 
Рассмотрим две любые середины сторон правильного многоугольника. Через каждую их них можно провести единственный перпендикуляр к стороне. Проведенные через середины перпендикуляры обязательно пройдут через т.О - центр описанной окружности. При этом возможно только два случая: либо три точки (две середины сторон и т.О) не лежат на одной прямой, значит они пересекаются в т.О, либо эти три точки лежат на одной прямой (т.е. серединные перпендикуляры совпадают).