Решение уравнений методом введения новой переменной

Задача.

Решите уравнение:

x³+1/x³=22(x+1/x)

Решение.

Пусть у = х+1/х, х≠0.

Используя формулы суммы кубов и квадрата суммы,

получим:

x³+1/x³=(x+1/x)*(x²-x*1/x+1/x²)= (x+1/x)*(x² +1/x²-1)=

=(x+1/x)*(x² +2*x*1/x+1/x²-3)= (x+1/x)*((x+1/x)²-3)

С учетом новой переменной:

x³+1/x³=y*(y²-3)

Уравнение теперь будет иметь вид:

y*(y²-3)=22y

y*(y²-3)-22y=0

y*(y²-25)=0

y*(y-5)*(y+5)=0

y=0 или у=5 или у=-5

х+1/х=0	х+1/х=5	х+1/х=-5
х=-1/х x2=-1	x2-5х+1=0 D=25-4*1=21	x2+5х+1=0 D=25-4*1=21
x1=i x2=-i	x3=(5+√ 21)/2 x4=(5-√ 21)/2	x5=(-5+√ 21)/2 x6=(-5-√ 21)/2

Ответ:

x₁=i; x₂=-i; x₃=(5+√ 21)/2; x₄=(5-√ 21)/2; x₅=(-5+√ 21)/2; x₆=(-5-√ 21)/2.

Серединные перпендикуляры

Задача.
Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

Решение.
Если многоугольник правильный, то возле него всегда можно описать окружность. Центром описанной около многоугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам (т.О). 
Рассмотрим две любые середины сторон правильного многоугольника. Через каждую их них можно провести единственный перпендикуляр к стороне. Проведенные через середины перпендикуляры обязательно пройдут через т.О - центр описанной окружности. При этом возможно только два случая: либо три точки (две середины сторон и т.О) не лежат на одной прямой, значит они пересекаются в т.О, либо эти три точки лежат на одной прямой (т.е. серединные перпендикуляры совпадают).

День рождения (7-9 класс)

Задание.
Альберт и Бернард только что познакомились с Шерил и захотели узнать, когда у нее день рождения. Шерил дала им список из десяти возможных дат:
- 15 мая, 16 мая, 19 мая;
- 17 июня, 18 июня;
- 14 июля, 16 июля;
- 14 августа, 15 августа, 17 августа.
Затем Шерил сообщила Альберту, в каком месяце она родилась, а Бернарду - какого числа. После этого между мужчинами произошел следующий разговор.
- Я не знаю, когда день рождения Шерил, но я знаю, что Бернард этого тоже не знает, - заявил Альберт.
- Сначала я не знал, когда у Шерил день рождения, но теперь знаю, - ответил Бернард.
- А теперь и я знаю, когда родилась Шерил, - сказал Альберт.
Так когда же у Шерил день рождения?
Решение.
1) По условию, Альберт знает месяц рождения Шерил. Он посмотрел на список из 10 дат и заявил, что Бернард дату рождения не знает, хотя ему и сообщили число. Альберт может сделать такой вывод только в том случае, если в известном ему месяце нет дат, не встречающихся в других месяцах.
Число 19 мы видим в списке только в мае, 18 - только в июне. Если бы Шерил назвала Альберту июнь или май, то он бы не мог с такой уверенностью утверждать, что Бернард не сможет точно определить по известному числу и месяц рождения.
Значит, май и июнь не были названы. Остаются только июль или август.
2) Догадавшись о рассуждениях Альберта, Бернард тоже исключает май и июнь, и теперь утверждает, что по известному ему числу определил дату рождения Шерил.
Это не может быть 14-е число, т.к. оно встречается и в июле, и в августе.
Остаются только 3 даты: 16 июля, 15 или 17 августа.
И конечно же, Бернард по названному ему числу узнал дату рождения Шерил.
3) Последняя реплика Альберта. Он сообщает, что теперь и он знает дату рождения Шерил. Число Альберт не знает, а значит точно определить дату он мог только в случае, если возможный вариант даты в названном ему месяце только один (16 июля). В августе оставалось 2 возможных варианта (15 или 17), и если бы Шерил сказала Альберту "август", то он, не зная числа, не смог бы определить точно.
Ответ: 16 июля.

Ресурсы:
http://www.rg.ru/2015/04/14/zadacha-site.html

Каких чисел больше (6-7 класс)

Задание.
Даны числа от 1 до 2015. Каких чисел среди них больше: тех, что делятся на 6 и не делятся на 7, или тех, что делятся на 7 и не делятся на 6?
Решение.
1-й способ.
2015:6=335 (ост. 5) - чисел, делящихся на 6 ([1;2015]).
2015:7=287 (ост. 6) - чисел, делящихся на 7 ([1;2015]).
2015:42=47 (ост. 41) - чисел, делящихся на 6  и на 7 ([1;2015]).
335-47= 288  - чисел, делящихся на 6 и не делящихся на 7 ([1;2015]).
287-47= 240  - чисел, делящихся на 7 и не делящихся на 6 ([1;2015]).
2-й способ.
2015:6=335 (ост. 5) - чисел, делящихся на 6 ([1;2015]).
2015:7=287 (ост. 6) - чисел, делящихся на 7 ([1;2015]).
Пусть а - количество чисел, делящихся на 6 и на 7.
335>287
335-a>287-a
Ответ: чисел, делящихся на 6 и не делящихся на 7, больше, чем чисел, делящихся на 7 и не делящихся на 6.

Нагревание и охлаждение газа (6-7 класс)

Задание.
При нагревании газ увеличился в объеме на 20%. На какую часть своего объема уменьшится этот газ при охлаждении до первоначальной температуры?
Решение.
Примем за единицу первоначальный объем газа. 20% = 1/5. Тогда объем газа после нагревания станет 1+1/5=6/5. При охлаждении до прежней температуры объем газа уменьшится на ту же 1/5 часть от первоначального объема.
1/5 / (6/5) = 1/6
Ответ: при охлаждении газ уменьшится в объеме на 1/6.

N прямых (7-9 класс)

Задание.
N прямых делят плоскость на части. Какое наибольшее количество частей может получиться?
Решение.
Пусть n - количество прямых на плоскости, а x(n) - наибольшее количество частей при разбиении плоскости n прямыми.
Рассмотрим n=1, 2, 3, 4, 5, 6.

x(1) = 2 = 1+1 

x(2) = 4 = 1+1+2

х(3) = 7 = 1+1+2+3

х(4) = 11 = 1+1+2+3+4

х(5) = 16 = 1+1+2+3+4+5

х(6) = 22 = 1+1+2+3+4+5+6

Значит,

x(N) = 1+1+2+3+...+N

1, 2, 3, ..., N - арифметическая прогрессия, сумма N первых членов будет равна N(N+1)/2.

Т.е. x(N) = 1+N(N+1)/2

Ответ: 1+N(N+1)/2.

Шахматисты (7-8 класс)

Задание.
Шахматисты сыграли 224 партии. Каждые двое сыграли друг с другом одно и то же число партий. Сколько было шахматистов и сколько партий они сыграли друг с другом?
Решение.
Обозначим а - количество шахматистов, с - количество партий, которое каждый из них сыграл друг с другом. Тогда а(а-1)/2 - количество партий, если а игроков сыграли друг с другом по 1 партии, а(а-1)с/2 - а игроков сыграли друг с другом по с партий.
а(а-1)с/2=224
а(а-1)с=448 (*)
Разложим 448 на простые множители.
448=7*2⁶
Представим 448 в виде (*)

448 = 2*1*224 = 8*7*8
Значит, возможно 2 решения: 1) 2 игрока сыграли друг с другом по 224 партии; 2) 8 игроков сыграли друг с другом по 8 партий.
Ответ: 2 игрока по 224 партии; 8 игроков по 8 партий.
Ресурсы:
http://mmmf.msu.ru/archive/20072008/z8b/karusel.html

Что больше (5-6 класс)

Задание.
Сравните 201420142014*20152015201520152015 и 201520152015*20142014201420142014.
Решение.
201420142014 = 2014*100010001
20152015201520152015 = 2015*10001000100010001
201520152015 = 2015*100010001
20142014201420142014 = 2014*10001000100010001
201420142014*20152015201520152015 = 201520152015*20142014201420142014 =
= 2014*2015*100010001*10001000100010001

Трава на лугу

Задание.
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров - в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?
Решение.
1-й способ.

Пусть корова съедает за 1 день 1 порцию травы. 

За 60 дней на лугу выросло 30х60=1800 порций травы, 24 дня - 70х24=1680 порций.

За  60 – 24 = 36  дней на лугу выросло  1800 – 1680 = 120  порций. 

Значит, помимо съеденных за 60 дней 30 коровами 1800 порций за добавочные  96 – 60 = 36  дней вырастет еще 120 порций. 

Получится 1800+120 = 1920. За 96 дней их съедят  1920 : 96 = 20  коров.

2-й способ.
Пусть у - суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. За 24 дня прирост составит 24y; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают 1 + 24у.
В сутки все стадо из 70 коров съедает (1 + 24y)/24,
а одна корова съедает (1 + 24y)/(24 × 70).
Аналогично, по условию 30 коров поели бы траву того же луга за 60 суток, значит что одна корова съедает в сутки (1 +60y)/(30 × 60).
Количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково, поэтому:
(1 + 24y)/24 × 70 = (1 + 60y)/30 × 60
y = 1/480.
Доля первоначального запаса травы, которую съедает одна корова в сутки, равна:
(1 + 24у)/24 × 70 = (1 + 24 × 1/480)/24 × 70 = 1/1600.
Теперь пусть х - число коров, которые съедят траву за 96 дней, тогда:
(1 + 96 × 1/480)/96x = 1/1600
х = 20.

Ответ: 20 коров.

Ресурсы:

1) Задача №35229 МЦНМО

http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=35229

2) Библиотека по математике

http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st027.shtml

Теорема Виета (7-8 класс)

Задание.

При каком наименьшем значении а сумма квадратов корней уравнения x² +7ax+12a² = 0 
равна 0,25?

Решение.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = -7а, x₁x₂ = 12a² .

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ = (-7a)² - 24a² = 25a² .

По условию 25a² = 0,25 , отсюда a² = 0,01 и a = ±0,1.

При a = ±0,1 D=49a² -4*12a² =a² =0,01>0, уравнение имеет 2 корня.

Ответ: при а=-0,1.