Длина поезда

Задача.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 1650 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минутам.

Решение.

Пусть х км - длина пассажирского поезда.  Скорость, с которой пассажирский поезд обгоняет за 3 минуты = 1 /20 ч товарный поезд, равна 90 км/ч - 40 км/ч = 50 км/ч. Длина товарного поезда в км: 1650 м = 1,65 км. Составим уравнение:
1,65 + х = 50 * 1 /20
x = 2,5 - 1,65
x = 0,85 км = 850 м

Ответ: 850 м.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Гарри Поттер, крыса и дракон

Задача.
(ОММО, 2009) Пролетая на драконе, Гарри Поттер увидел крысу Рона, бегущую в противоположную сторону. Пролетев ещё полминуты не меняя направления, Гарри спрыгнул с дракона и отправился в погоню. Известно, что скорость Гарри в 5 раз меньше скорости дракона. Во сколько раз скорость Гарри больше скорости крысы, если он догнал крысу через 4,5 минуты после их встречи?

Решение.

Пусть х - скорость Гарри Поттера, 5х - скорость дракона, у - скорость крысы.
Тогда:
4,5 у = (4,5 - 0,5) * x - 0,5 * 5 x
4,5y = 1,5x
x/y = 4,5/1,5
x/y = 3

Ответ: в 3 раза.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Кошки-мышки

Задача.
(«Ломоносов», 2008) Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку, прежде чем та юркнула в норку?

Решение.
Пусть х м - расстояние  от мышки до норки в первый момент, в это время расстояние от кошки до мышки - 3х м, а от кошки до норки - 4х м. В следующий момент  расстояние от мышки до норки - 4 м, от кошки до мышки - 11 м, а от кошки до норки - 15 м.

Заметим, что по условию задачи х > 4 (*).
За время t между первым и вторым моментами кошка преодолела (4х - 15) м, а мышка - (х - 4) м. Скорость  кошки равна (4х - 15) / t, скорость мышки: (х - 4) / t. Эти скорости постоянны, а значит постоянно и их соотношение: (4х - 15) / t / ((х - 4) / t) = (4х - 15) / (х - 4). Кошка догонит мышку, если кошка преодолеет оставшиеся 15 м быстрее, чем мышка 4 м, т.е. если
(4х - 15) / (х - 4) ≥ 15/4 (**)
Умножим обе части неравенства на х - 4, х - 4 > 0 согласно (*):
16х - 60 ≥ 15х - 60
х ≥ 0
Значит,  (**) выполняется и для любого расстояния х > 4.

Ответ: успел догнать.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

В гору и с горы (2)

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11) На путь в гору по маршруту А турист затратил 2 часа, а на путь с горы по маршруту Б, который на 18 км длиннее маршрута А, — 4 часа. Найдите общую длину пути, пройденного туристом, если каждый километр при спуске турист проходил на 10 минут быстрее, чем при подъёме.

Решение.
Пусть х км - длина маршрута А, (х + 18) км - длина Б.
Пусть t часов - время, за которое турист проезжает 1 км по маршруту А.
По условию: х*t = 2 часа. Отсюда t = 2/x (*).
По маршруту Б каждый километр турист проезжает на 10 минут быстрее, т.е. за время t - 1/6.
Значит, (х + 18) км он проедет за (х + 18) * (t - 1/6) часов.
По условию: (х + 18) * (t - 1/6) = 4 часа.
Подставляя (*) в это уравнение, имеем:
(х + 18) * (2/х - 1/6) = 4
(х + 18) * (12 - х) /6х = 4
(х + 18) * (12 - х) = 24х

х² + 30х - 216 = 0

D = 900 - 4 *(-216) = 1756
x = (-30 + 42)/2 = 6 (км) (отрицательный корень уравнения не имеет смысла)
Общая длина пути (маршруты А + Б):  6 + 6 + 18 = 30 км

Ответ: 30 км.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Пункты А, В, С

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 8) Пункты A, B, C расположены последовательно, при- чём расстояние AB равно a км, а расстояние BC равно b км. Из пункта A выехал велосипедист и поехал в пункт C. Одновременно с ним из пункта B вышел пешеход и направился в пункт A. Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты A и C одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта A они встретились (a и b известны).

Решение.

Ответ: а(а + b)/(2a + b)

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Эскалатор

Задача.
(«Ломоносов», 2011, 7–9) Ваня опаздывал в школу и, поднимаясь бегом по эскалатору, не сразу заметил, что в момент, когда он ступил на эскалатор, из его сумки выпал учебник. Обнаружив пропажу, Ваня побежал вниз c удвоенной скоростью и через 20 секунд поднял книжку, оказавшись в этот момент ровно посередине эскалатора. От бега Ваня устал и остаток пути провёл стоя. Сколько времени провёл Ваня на эскалаторе?

Решение.

Пусть х эскалатора/сек. - скорость бега Вани,  у эскалатора/сек. - скорость эскалатора, t сек. - время, которое книга находилась на эскалаторе до того, как Ваня ее поднял. За время t книга проехала по эскалатору у * t. Ваня за время t - 20 пробежал по эскалатору вверх со скоростью
х + у  и спускался вниз 20 секунд со скоростью 2х - у (в направлении, противоположном движению эскалатора). Вверх Ваня преодолел расстояние (t - 20) * (x + y), вниз - 20 * (2x - y).
Разность между этими величинами и есть расстояние, которое проехала книга по эскалатору за время t:
(t - 20) * (x + y) - 20 * (2x - y) = у * t
xt + yt - 20x - 20y - 40x + 20y = yt
xt - 60x = 0
x * (t - 60) = 0
Очевидно, что х не равно 0 ⇒  t - 60 = 0, т.е. t = 60.
По условию: у * t = 1 /2 ⇒  у * 60 = 1 /2 и у = 1/120 эскалатора/сек.
Ваня в тот момент, когда понимал книгу, находился на эскалаторе 60 секунд и оказался посередине.  Дальше он двигался  только со скоростью эскалатора и оставшуюся  половину преодолел также за 60 секунд:
1 /2 : 1/120 = 60 (сек.)
Всего Ваня провел на эскалаторе 60 + 60 = 120 (сек.) = 2 (мин.).

Ответ: 2 минуты.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Автомобили на перекрестке

Задача.

После встречи двух автомобилей на перекрестке один из них поехал на север, а другой на восток. Через пять часов после встречи расстояние между ними было 500 км. Найти скорость каждого автомобиля, если известно, что скорость одного из них была на 20 км/час больше скорости второго.

Решение.

Пусть х км/ч - скорость первого автомобиля, х + 20 км/ч - второго. Автомобили двигались в перпендикулярных направлениях - значит, квадрат расстояния между ними равен сумме квадратов расстояний, пройденных каждым автомобилем:

5²*х² + 5²*(х + 20)² = 500²

2х² + 40х + 400 = 10000

х² + 20х - 4800 = 0

D = 400 – 4 * (- 4800) = 19600

x = (- 20 + 140)/2 = 60 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

х + 20 = 60 + 20 = 80 (км/ч) – скорость второго.

Ответ: 60 и 80 км/ч.

По окружности

Задача.
Два тела, дви­га­ясь по окруж­но­сти в одном на­прав­ле­нии, встре­ча­ют­ся через каж­дые 112 мин., а дви­га­ясь в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях - через каждые 16 мин. Во вто­ром слу­чае рас­сто­яние между те­ла­ми умень­ши­лось с 40 м до 26 м за 12 с. Найдите длину окружности.

Решение.
Пусть х м/мин. - ско­рость пер­во­го тела, у м/мин. - скорость второго. За 112 мин. пер­вое тело прой­дет дугу 112х, а вто­рое 112у. При­чем, вто­рое про­хо­дит всю окруж­ность и еще дугу 112х, встречаясь с первым. Значит, разность 112у - 112х равна длине окружности. При дви­же­нии тел в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях та же длина окружности равна16у + 16х.
112у - 112х = 16у + 16х
96у = 128х
х = 3у / 4 (*)
40 - 26 = 14 метров тела про­шли нав­стре­чу друг другу за 12 сек. = 1/5 мин.
(х + у) / 5 = 14
Под­ста­вим (*) в это уравнение:
(3у / 4 + у) / 5 =14
у = 40 (м/мин.) - скорость второго тела.
х = 3 * 40 /4 = 30 м/мин. - скорость второго.
16у + 16х = 16 * (30 +40) = 1120 (м) - длина окружности.

Ответ: 1120 м .

Ресурсы:
http://oldskola1.narod.ru/Vuzalg/Vuzalg4/vuzalg0802_2.htm

Спортсмены на байдарке

Задача.
Спортсмены на байдарке тренировались в гребле два часа по течению реки, затем сложили весла и плыли по реке еще час. После этого они снова взялись за весла и за четыре часа вернулись к месту старта.  Через сколько часов и минут после старта вернулись бы спортсмены, если они после двух часов тренировки по течению реки сразу стали бы грести обратно? Собственную скорость байдарки при гребле в стоячей воде и скорость течения реки считать постоянными.

Решение.
Пусть х км/ч - собственная скорость байдарки, у км/ч - скорость течения реки. Тогда по течению реки спортсмены проплыли (х + у) * 2 + y * 1 = 2x + 3y (км), а против течения реки - (х - у) * 4 = 4х - 4у (км).
2x + 3y = 4х - 4у
2х = 7у
х = 3,5у
(х + у) * 2 = (3,5у + у) * 2 = 9 у
х - у = 3,5у - у = 2,5у
Пусть t часов - время, которое потребовалось бы спортсменам, если они после двух часов тренировки по течению реки сразу стали бы грести обратно.
 9у = 2,5у * t
 t = 9у / 2,5у
 t = 3,6 часа = 3 часа 36 минут.

Ответ: через 3 часа 36 минут.

Автомобиль и автобус

Задача.
Из пункта А в пункт В выехал автобус. Спустя 30 минут вслед за ним из пункта А выехал автомобиль. Через 1 час 15 минут после своего выхода он, обогнав автобус, находился на расстоянии 2 км от него. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 30 км/ч меньше скорости автомобиля.

Решение.
Пусть х км/ч - скорость автобуса, х + 30 км/ч - скорость автомобиля. Тогда расстояние, пройденное автобусом, равно (0,5 +1,25)*х км; расстояние, пройденное автомобилем -
1,25*( х+30) км . По условию автомобиль обогнал автобус на 2 км:
1,25*( х+30) - (0,5 +1,25)*х = 2
0,5*х = 35,5
х = 71 (км/ч)

Ответ: 71 км/ч.

Плот и катер

Задача.
Из пункта А в пункт В по течению реки отправили плот. Одновременно из пункта В в пункт А вышел катер. Встретив плот, катер сразу развернулся и поплыл обратно. Какую часть пути от А до В проплывёт плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в четыре раза больше скорости течения реки?

Решение.
Пусть х - скорость течения реки, t - время от начала движения до встречи плота и катера.
Тогда плот пройдет по течению реки до встречи х*t, катер против течения - (4*х - х)*t=3*x*t.
Расстояние от А до В равно х*t + 3*х*t = 4*х*t.
Возвращается катер по течению со скоростью 4*х + х = 5*х, ему предстоит преодолеть расстояние 3*х*t за время 3*х*t/(5*х) = 3/5*t. Плот за это время преодолеет х*3/5*t.
Всего плот за время движения катера проплыл х*t + 3/5*х*t = 8/5*х*t.
Найдем, какую часть составляет 8/5*х*t от всего расстояния между А и В 4*х*t:
8/5*х*t/(4*х*t) = 2/5.

Ответ: 2/5 = 0,4.

Катер

Задача.
Туристы на катере проплыли полтора часа по течению реки, после этого выключили мотор и плыли в том же направлении ещё полчаса. Обратно они плыли, включив мотор, и через два с половиной часа прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости катера? Скорость катера в неподвижной воде (собственная скорость катера) и скорость течения реки считаются постоянными.

Решение.
Пусть х - собственная скорость катера, у - скорость течения реки. Тогда путь по течению можно представить в виде выражения 1,5 * (х + у) + 0,5 * y; путь против течения равен
2,5 * (х - у). Расстояния, пройденные катером по течению и против, равны:
1,5 * (х + у) + 0,5 * y = 2,5 * (х - у). Упростив выражение, получим: х = 4,5 * у.

Ответ: в 4,5 раза.

Старинная задача. Охота

Задача.
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.

Решение.
Первый способ.
1) 500:2 = 250 (сажен/мин.) - скорость зайца.
2) 1300:5 = 260 (сажен/мин.) - скорость собаки.
3) 260-250=10 (сажен/мин.) - на столько скорость собаки больше скорости зайца.
4) 150:10 = 15 (мин.) - время, за которое собака нагонит зайца.

Второй способ.
Пусть х - время, за которое собака нагонит зайца, тогда 150/х (сажен/мин.) - скорость их сближения. С другой стороны, скорость сближения равна разности между скоростью собаки 1300/5 (сажен/мин.) и скоростью зайца 500/2 (сажен/мин.). Составим уравнение:
150/х = 1300/5-500/2
150/х = 10
х = 15 (мин.)

Ответ: за 15 минут.

Ресурсы:
http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=623

Старинная задача. Из Москвы в Тверь

Задача.

Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Решение.

Первый способ.

1) 39 - 26 = 13 (верст) - разница между скоростями первого и второго поезда.

После того, как первый поезд прибыл в Тверь, второй поезд двигался до этой станции еще 2 часа.

2) 26*2 = 52 (версты) - расстояние, которой прошел второй поезд после прибытия в Тверь первого поезда.

Разделим расстояние, на которое первый поезд обогнал второй, на разницу между скоростями этих поездов.

3) 52:13 = 4 (часа) - время в пути для первого поезда.

4) 39*4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Второй способ.

Пусть х верст - расстояние от Москвы до Твери, тогда х/39 часов - время в пути для первого поезда, х/26 часов - для второго. По условию:

х/26 - х/39 = 2

3х-2х = 2*78

x = 156 (верст)

Ответ: 156 верст.

Ресурсы:

http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=623

В гору и с горы

Задача.
Из пункта А в пункт В турист за 8 часов прошел пешком 18 км в гору и 12 км с горы. На следующий день он проделал обратный путь за 7 часов. В гору турист идет с постоянной скоростью, с горы - с другой скоростью (тоже постоянной). Какова скорость туриста в гору и с горы?

Решение.
Пусть х км/ч - скорость туриста в гору, у км/ч - с горы. Тогда:
18/х + 12/у = 8
12/х + 18/у = 7
Умножим второе равенство на -1,5 и сложим с первым:
18/х - 18/х + 12/у -27/у = 8 - 10,5
-15/у = -2,5
у = 6 (км/ч) - с горы.
12/х + 18/6 = 7
12/х = 4
х = 3 (км/ч) - в гору.

Ответ: 3 км/ч и 6 км/ч.

Плот

Задача.
Мальчик плыл по реке на плоту. Решив искупаться, он прыгнул в реку и проплыл 10 минут против течения реки. После этого, увидев что плот удалился на большое расстояние, мальчик поплыл обратно и догнал свой плот только в 2 км от места, где прыгнул в реку. Какова скорость течения реки?

Решение.
Первый способ.
Задачу решить легче всего, используя понятие относительности движения. В системе отсчета реки пловец движется только за счет собственных усилий, а плот вообще неподвижен. Мальчик удалялся от плота 10 минут (с собственной скоростью), а значит и догонять его будет еще столько же, т.е. 10 минут. Общее время 20 минут = 1 /3 часа.
За этот же промежуток времени плот проплыл 2 км, а значит скорость течения реки равна:
2 : (1 /3) = 6 (км/ч)
Второй способ.
Пусть х км/ч - скорость мальчика, у км/ч - скорость течения реки, 10 мин = 1/6 часа. Тогда:
1) 2 / у часов - время, за которое плот преодолел 2 км;
2) (х-у)/6 км - расстояние, которое мальчик проплыл против течения реки;
3) это же расстояние до места, где он прыгнул в реку ему пришлось плыть в обратном направлении за (х-у)/(6*(x+y)) часов;
4) после этого мальчик плыл еще 2 км за 2/(x+y) часов.
Время перемещения плота и время плавания мальчика совпадают:
2/у = 1/6 + (х-у)/(6*(x+y)) + 2/(x+y)
2/у = (х + у + х - у + 12) / (6*(x+y))
1/у = (х + 6) / (6*(x+y))
у * (х + 6) = 6*(x+y)
у * х  = 6*x
у = 6 (км/ч)

Ответ: 6 км/ч.

Пункты А и В

Задача.

Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта А пешеход вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шел каждый пешеход?

Решение.

Пусть х км/ч - скорость первого пешехода у км/ч - второго. По условию (учитывая, что половина пути равна 20 км):

4 * (x + y) = 40 - 4

20/x - 20/y = 1

Из первого уравнения х + у = 9 и у = 9 - х.

Подставим во второе уравнение:

20/х - 20/(9-х) = 1

20 * (9 - х – x) = (9 - х) * x

x² – 9x + 180 – 40x = 0

x² – 49x + 180 = 0

D = 2401 – 4 * 180 = 1681

х₁ = (49 + 41)/2 = 45 (км/ч) – не подходит по условию задачи

х₂ = (49 - 41)/2 = 4 (км/ч)

у = 9 - 4 = 5 (км/ч)

Ответ: 4 и 5 км/ч.