Показаны сообщения с ярлыком неравенства. Показать все сообщения
Показаны сообщения с ярлыком неравенства. Показать все сообщения
вторник, 21 декабря 2021 г.
понедельник, 20 декабря 2021 г.
среда, 8 декабря 2021 г.
понедельник, 4 апреля 2016 г.
суббота, 2 апреля 2016 г.
четверг, 3 марта 2016 г.
Кошки-мышки
Задача.
(«Ломоносов», 2008) Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку, прежде чем та юркнула в норку?
Решение.
Пусть х м - расстояние от мышки до норки в первый момент, в это время расстояние от кошки до мышки - 3х м, а от кошки до норки - 4х м. В следующий момент расстояние от мышки до норки - 4 м, от кошки до мышки - 11 м, а от кошки до норки - 15 м.
Заметим, что по условию задачи х > 4 (*).
За время t между первым и вторым моментами кошка преодолела (4х - 15) м, а мышка - (х - 4) м. Скорость кошки равна (4х - 15) / t, скорость мышки: (х - 4) / t. Эти скорости постоянны, а значит постоянно и их соотношение: (4х - 15) / t / ((х - 4) / t) = (4х - 15) / (х - 4). Кошка догонит мышку, если кошка преодолеет оставшиеся 15 м быстрее, чем мышка 4 м, т.е. если
(4х - 15) / (х - 4) ≥ 15/4 (**)
Умножим обе части неравенства на х - 4, х - 4 > 0 согласно (*):
16х - 60 ≥ 15х - 60
х ≥ 0
Значит, (**) выполняется и для любого расстояния х > 4.
Ответ: успел догнать.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf
(«Ломоносов», 2008) Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку, прежде чем та юркнула в норку?
Решение.
Пусть х м - расстояние от мышки до норки в первый момент, в это время расстояние от кошки до мышки - 3х м, а от кошки до норки - 4х м. В следующий момент расстояние от мышки до норки - 4 м, от кошки до мышки - 11 м, а от кошки до норки - 15 м.
Заметим, что по условию задачи х > 4 (*).
За время t между первым и вторым моментами кошка преодолела (4х - 15) м, а мышка - (х - 4) м. Скорость кошки равна (4х - 15) / t, скорость мышки: (х - 4) / t. Эти скорости постоянны, а значит постоянно и их соотношение: (4х - 15) / t / ((х - 4) / t) = (4х - 15) / (х - 4). Кошка догонит мышку, если кошка преодолеет оставшиеся 15 м быстрее, чем мышка 4 м, т.е. если
(4х - 15) / (х - 4) ≥ 15/4 (**)
Умножим обе части неравенства на х - 4, х - 4 > 0 согласно (*):
16х - 60 ≥ 15х - 60
х ≥ 0
Значит, (**) выполняется и для любого расстояния х > 4.
Ответ: успел догнать.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf
понедельник, 22 февраля 2016 г.
суббота, 13 февраля 2016 г.
четверг, 11 февраля 2016 г.
вторник, 9 февраля 2016 г.
понедельник, 8 февраля 2016 г.
Доказательство неравенства
Задача.
Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d верно неравенство:
a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4
Док-во:
Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d верно неравенство:
a/b + b/c + c/d + d/a ≥ 4
Док-во:
Ресурсы:
четверг, 4 февраля 2016 г.
Доказательство неравенства
Задача 1.3. (Всеросс., 2012, регион, 11 )
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство
(n − 1)n+1(n + 1)n−1 < n2n.
Докажите, что для любого натурального n выполнено неравенство
(n − 1)n+1(n + 1)n−1 < n2n.
Ресурсы:
среда, 3 февраля 2016 г.
Доказательство неравенства
Задача 1.5. (Всеросс., 2011, регион, 9)
Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство
Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство
Ресурсы:
вторник, 2 февраля 2016 г.
воскресенье, 31 января 2016 г.
суббота, 30 января 2016 г.
четверг, 28 января 2016 г.
Подписаться на:
Сообщения (Atom)