Сколько единиц в двоичной записи

📑 Задание

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:
$8^{16}+2^{52}−15$ ?

📑 Решение.

8^16+2^52−15=2^52+2^48−2^4+2^0
2^52 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ и 51 символ ‘0‘
2^48 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ и 47 символов ‘0‘
2^52+2^48 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ , 3 символа ‘0‘, 1 символ ‘1‘ , 47 символов ‘0‘
2^4: 1 символ ‘1‘ , 3 символа ‘0‘
2^52+2^48−2^4 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ , 4 символа ‘0‘, 44 символа ‘1‘, 4 символа ‘0‘
2^52+2^48−2^4+2^0 в бинарной системе:
1 символ ‘1‘, 4 символа ‘0‘, 44 символа ‘1‘, 3 символа ‘0‘, 1 символ ‘1‘

📑 Ответ: 46

Составим слова

📑 Задание

Вася составляет 4-буквенные слова, в которых есть только буквы С, Т, Е, П, А,
причём буква Е используется в каждом слове ровно 1 раз.
Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем.
Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.
Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

📑 Решение.

1) Е занимает 4 возможных положения в словах:
Е***, *Е**, **Е*, ***Е.
2) Рассмотрим одну из этих позиций: другие буквы С, Т, П, А могут находиться в любом из оставшихся трех мест.
Таким образом, количество слов для одной позиции Е будет равно:
4∗4∗4
3) Число всех возможных слов равно:
4∗4∗4∗4=4^4=256

📑 Ответ: 256

Передача сообщений

📑 Задание

По каналу связи передаются сообщения, каждое из которых содержит:
8 букв А, 8 букв Б, 16 букв В и 32 буквы Г (других букв в сообщениях нет).
Каждую букву кодируют двоичной последовательностью.
При выборе кода учитывались два требования:
а) ни одно кодовое слово не является началом другого
(это нужно, чтобы код допускал однозначное декодирование);
б) общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.
Какова суммарная длина всех четырёх кодовых букв?

📑 Решение.

1) В сообщениях используются 4 символа с вероятностями:

• Г: 32/(8+8+16+32)=0.5
• В: 16/(8+8+16+32)=0.25
• А и Б: 8/(8+8+16+32)=0.125

2) Присвоим коды, используя принцип: чем чаще встречается символ, тем короче код.

• Г:0, В:11, А:100, Б:101 или
• Г:0, В:10, А:110, Б:111 или
• Г:1, В:00, А:010, Б:011 или
• Г:1, В:01, А:110, Б:111

3) Вычислим длину одного сообщения, состоящего из всех четырех символов:

• 1+2+3*2=9

📑 Ответ: 9