Шахматисты (7-8 класс)

Задание.
Шахматисты сыграли 224 партии. Каждые двое сыграли друг с другом одно и то же число партий. Сколько было шахматистов и сколько партий они сыграли друг с другом?
Решение.
Обозначим а - количество шахматистов, с - количество партий, которое каждый из них сыграл друг с другом. Тогда а(а-1)/2 - количество партий, если а игроков сыграли друг с другом по 1 партии, а(а-1)с/2 - а игроков сыграли друг с другом по с партий.
а(а-1)с/2=224
а(а-1)с=448 (*)
Разложим 448 на простые множители.
448=7*2⁶
Представим 448 в виде (*)

448 = 2*1*224 = 8*7*8
Значит, возможно 2 решения: 1) 2 игрока сыграли друг с другом по 224 партии; 2) 8 игроков сыграли друг с другом по 8 партий.
Ответ: 2 игрока по 224 партии; 8 игроков по 8 партий.
Ресурсы:
http://mmmf.msu.ru/archive/20072008/z8b/karusel.html

Что больше (5-6 класс)

Задание.
Сравните 201420142014*20152015201520152015 и 201520152015*20142014201420142014.
Решение.
201420142014 = 2014*100010001
20152015201520152015 = 2015*10001000100010001
201520152015 = 2015*100010001
20142014201420142014 = 2014*10001000100010001
201420142014*20152015201520152015 = 201520152015*20142014201420142014 =
= 2014*2015*100010001*10001000100010001

Трава на лугу

Задание.
Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24 дня, а 30 коров - в 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву луга в 96 дней?
Решение.
1-й способ.

Пусть корова съедает за 1 день 1 порцию травы. 

За 60 дней на лугу выросло 30х60=1800 порций травы, 24 дня - 70х24=1680 порций.

За  60 – 24 = 36  дней на лугу выросло  1800 – 1680 = 120  порций. 

Значит, помимо съеденных за 60 дней 30 коровами 1800 порций за добавочные  96 – 60 = 36  дней вырастет еще 120 порций. 

Получится 1800+120 = 1920. За 96 дней их съедят  1920 : 96 = 20  коров.

2-й способ.
Пусть у - суточный прирост травы в долях ее запаса на лугу. За 24 дня прирост составит 24y; если общий запас принять за 1, то в течение 24 дней коровы съедают 1 + 24у.
В сутки все стадо из 70 коров съедает (1 + 24y)/24,
а одна корова съедает (1 + 24y)/(24 × 70).
Аналогично, по условию 30 коров поели бы траву того же луга за 60 суток, значит что одна корова съедает в сутки (1 +60y)/(30 × 60).
Количество травы, съедаемое коровой в сутки, для обоих стад одинаково, поэтому:
(1 + 24y)/24 × 70 = (1 + 60y)/30 × 60
y = 1/480.
Доля первоначального запаса травы, которую съедает одна корова в сутки, равна:
(1 + 24у)/24 × 70 = (1 + 24 × 1/480)/24 × 70 = 1/1600.
Теперь пусть х - число коров, которые съедят траву за 96 дней, тогда:
(1 + 96 × 1/480)/96x = 1/1600
х = 20.

Ответ: 20 коров.

Ресурсы:

1) Задача №35229 МЦНМО

http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=35229

2) Библиотека по математике

http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st027.shtml

Теорема Виета (7-8 класс)

Задание.

При каком наименьшем значении а сумма квадратов корней уравнения x² +7ax+12a² = 0 
равна 0,25?

Решение.

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = -7а, x₁x₂ = 12a² .

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂ = (-7a)² - 24a² = 25a² .

По условию 25a² = 0,25 , отсюда a² = 0,01 и a = ±0,1.

При a = ±0,1 D=49a² -4*12a² =a² =0,01>0, уравнение имеет 2 корня.

Ответ: при а=-0,1.

Целое а+1/а (7-8 класс)

Задание.
Известно, что число а+1/а  целое. Докажите, что число а² +1/а²   тоже целое.
Решение.
Представим а² +1/а²   следующим образом:
a²+1/a² = a²+2+1/a²-2 = a²+2*a*1/a+1/a²-2 = (a+1/a)²-2.
По условию а+1/а  целое, значит (a+1/a)² также является целым числом, и при вычитании числа 2 из этого выражения также получается целое.

Сложение в шестнадцатеричной системе (7-8 класс)

Задание.

Выполните сложение, ответ запишите в шестнадцатеричной системе исчисления:

5631₈ + 1АЕ_16.

Решение.

В качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10₁₀ до 15₁₀, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). 
Выполним перевод чисел в десятичную систему счисления.

5631₈= 5*8³+6*8²+3*8¹+1*8⁰=2560+384+24+1=2969

1АЕ₁₆=1*16²+10*16¹+14*16⁰=256+160+14=430

2969+430=3399

3399/256=13 (ост.71) 71/16=4(ост.7)

3399=13*16²+4*16¹+7*16⁰

Ответ: D47.