Привести пример универсального решения уравнения 4-й степени.
Идея: использовать схемы решений уравнения 2-й и 3-й степени.
Разложить на множители.
$\huge{x^8+1}$
Идея: использовать вспомогательные переменные.
Найти
$\huge{x*y+y*z*z*x}$,
если
$\huge{x^2+x*y+y^2=a^2}$
$\huge{y^2+y*z+z^2=b^2}$
$\huge{z^2+z*x+x^2=c^2}$
Идея: использовать вспомогательные переменные.
Решить уравнение
$\huge{x^8-7*x^6+12*x^4-7*x^2+1=0}$
Идея: использовать вспомогательные переменные.
Решить уравнение
$\huge{x^3-x-\frac{2}{\sqrt{3}}=0}$
Идея: использовать формулу Кардано или просто разложить на множители.
Представить указанное выражение
$\huge{\frac{24}{x^5-5*x^3+4*x}}$
в виде суммы дробей.
Разложим на множители знаменатель и используем вспомогательные переменные A,B,C,D,E.
Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:
$8^{16}+2^{52}−15$ ?
8^16+2^52−15=2^52+2^48−2^4+2^0
2^52 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ и 51 символ ‘0‘
2^48 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ и 47 символов ‘0‘
2^52+2^48 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ , 3 символа ‘0‘, 1 символ ‘1‘ , 47 символов ‘0‘
2^4: 1 символ ‘1‘ , 3 символа ‘0‘
2^52+2^48−2^4 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ , 4 символа ‘0‘, 44 символа ‘1‘, 4 символа ‘0‘
2^52+2^48−2^4+2^0 в бинарной системе:
1 символ ‘1‘, 4 символа ‘0‘, 44 символа ‘1‘, 3 символа ‘0‘, 1 символ ‘1‘
Вася составляет 4-буквенные слова, в которых есть только буквы С, Т, Е, П, А,
причём буква Е используется в каждом слове ровно 1 раз.
Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем.
Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.
Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?
1) Е занимает 4 возможных положения в словах:
Е***, *Е**, **Е*, ***Е.
2) Рассмотрим одну из этих позиций: другие буквы С, Т, П, А могут находиться в любом из оставшихся трех мест.
Таким образом, количество слов для одной позиции Е будет равно:
4∗4∗4
3) Число всех возможных слов равно:
4∗4∗4∗4=4^4=256
По каналу связи передаются сообщения, каждое из которых содержит:
8 букв А, 8 букв Б, 16 букв В и 32 буквы Г (других букв в сообщениях нет).
Каждую букву кодируют двоичной последовательностью.
При выборе кода учитывались два требования:
а) ни одно кодовое слово не является началом другого
(это нужно, чтобы код допускал однозначное декодирование);
б) общая длина закодированного сообщения должна быть как можно меньше.
Какова суммарная длина всех четырёх кодовых букв?
1) В сообщениях используются 4 символа с вероятностями:
2) Присвоим коды, используя принцип: чем чаще встречается символ, тем короче код.
3) Вычислим длину одного сообщения, состоящего из всех четырех символов:
Сигнал радиостанции состоит из 16 символов двоичного кода.
Шпион со специальным оборудованием изменил эту передачу.
Получилась последовательность $0100101101011000$.
Чтобы не вызвать подозрений, он заменил всего один символ в исходном сигнале радиостанции.
Сообщение, которое передал шпион - число из четырех символов в двоичной системе.
Получатель сигнала знает, что каждой из 16-ти позиций передачи соответствует
четырехзначное число в двоичной системе в порядке возрастания.
Для расшифровки переданного сообщения адресату достаточно сложить все числа,
соответствующие единицам в передаче радиостанции.
Что передал шпион?
Каждому символу в передаче поставим в соответствие 4-значное число в двоичной системе:
Выпишем и сложим все числа, соответствующие единицам в радиосигнале.
Известно, что должно получиться 4-хзначное число.
Если просто складывать все эти числа в двоичной системе,
то получиться сумма, соответствующее 50 в десятичной системе.
Такое число невозможно зашифровать с помощью 4 символов в двоичной системе.
Значит, нужно складывать векторы с 4-мя координатами
(четное количество единиц в столбце - в итоге 0, нечетное - 1)
Доказать, что указанное выражение
$n^5-5*n^3+4*n$
делится на 120 при любом натуральном n.
Легко видеть, что получилось произведение пяти последовательных целых чисел.
Среди них найдутся два последовательных четных числа,
одно из которых обязательно делится на 2, а другое - на 4.
Значит, все произведение делится на 8.
Кроме того, среди пяти последовательных чисел есть и такое, которое делится на 5 без остатка.
Т.е. все произведение делится на 5.
Рассуждая аналогично, получим, что среди них найдется и число, которое делится на 3.
Итак: 5*3*8 = 120. Данное выражение делится на 120 без остатка.
Программа построения треугольника Паскаля с n строками в Python.
