Расшифровка радиосигнала

📑 Ресурсы

Udacity Puzzles
Mathematical Puzzles

📑 Задание

Сигнал радиостанции состоит из 16 символов двоичного кода.
Шпион со специальным оборудованием изменил эту передачу.
Получилась последовательность $0100101101011000$.
Чтобы не вызвать подозрений, он заменил всего один символ в исходном сигнале радиостанции.
Сообщение, которое передал шпион - число из четырех символов в двоичной системе.
Получатель сигнала знает, что каждой из 16-ти позиций передачи соответствует
четырехзначное число в двоичной системе в порядке возрастания.
Для расшифровки переданного сообщения адресату достаточно сложить все числа,
соответствующие единицам в передаче радиостанции.
Что передал шпион?

📑 Решение.

Каждому символу в передаче поставим в соответствие 4-значное число в двоичной системе:

Выпишем и сложим все числа, соответствующие единицам в радиосигнале.
Известно, что должно получиться 4-хзначное число.
Если просто складывать все эти числа в двоичной системе,
то получиться сумма, соответствующее 50 в десятичной системе.
Такое число невозможно зашифровать с помощью 4 символов в двоичной системе.
Значит, нужно складывать векторы с 4-мя координатами
(четное количество единиц в столбце - в итоге 0, нечетное - 1)

📑 Ответ: 1010

До лекции 1 минута

Задача.
Лаборант приготовил для лекции профессора химии 1 пробирку с концентрированной кислотой и 6 пробирок с водой. За 1 минуту до лекции зашел другой лаборант и случайно перепутал все пробирки. В лаборатории есть только 3 универсальных индикатора: полоска индикатора становится красной при попадании на нее капли кислоты за 1 минуту. Как лаборантам определить за оставшиеся до лекции время, в какой пробирке находится кислота, если временем добавления капель из пробирок на индикаторы можно пренебречь?

Решение.
Необходимо пронумеровать пробирки от 1 до 7 и индикаторы от 1 до 3.
Затем из каждой пробирки по капле добавлять жидкость на одну, две или три полоски индикатора по следующему правилу:
001 - капля из пробирки №1 добавлена только на 3-й индикатор,
010 - капля из пробирки №2 добавлена только на 2-й индикатор,
011 - капли из пробирки №3 добавлены только на 2-й и 3-й индикаторы,
100 - капля из пробирки №4 добавлена только на 1-й индикатор,
101 - капли из пробирки №5 добавлены только на 1-й и 3-й индикаторы,
110 - капли из пробирки №6 добавлены только на 1-й и 2-й индикаторы,
111 - капли из пробирки №7 добавлены на 1-й , 2-й и 3-й индикаторы.
По тому, сколько индикаторов и какие именно окрасились в красный цвет, определяется номер пробирки с кислотой. Например, если в красный окрасились 1-й и 3-й индикаторы (101), то кислота находится в пробирке №5.

Сложение в шестнадцатеричной системе (7-8 класс)

Задание.

Выполните сложение, ответ запишите в шестнадцатеричной системе исчисления:

5631₈ + 1АЕ_16.

Решение.

В качестве шестнадцатеричных цифр используются десятичные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10₁₀ до 15₁₀, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). 
Выполним перевод чисел в десятичную систему счисления.

5631₈= 5*8³+6*8²+3*8¹+1*8⁰=2560+384+24+1=2969

1АЕ₁₆=1*16²+10*16¹+14*16⁰=256+160+14=430

2969+430=3399

3399/256=13 (ост.71) 71/16=4(ост.7)

3399=13*16²+4*16¹+7*16⁰

Ответ: D47.

Деление столбиком (7-8 класс)

Задание.

Восстановите запись деления полностью, если это возможно. 

Решение.

В десятичной системе решить задачу невозможно, поскольку по правилам деления столбиком 0 сносится вниз и получается 10-1=3.Это возможно только в четверичной системе счисления. Т.е. в этом примере могут использоваться только 4 цифры: 0,1,2,3 и все вычисления производятся в системе счисления с основанием 4.

Можно заметить, что вторая цифра в частном 0, поскольку пришлось сносить вторую цифру для выполнения деления. Кроме того, последнее деление выполнено без остатка, значит и оба числа в последнем вычитании равны.

По записи видно, что числа **1 и 3* кратны делителю в этом примере.

Выполним умножение чисел в четверичной системе. Из-за числа **1 умножение четных чисел можно не рассматривать.

Числа 231 и 33 кратны делителю 33. Значит

В четверичной системе: 231+3=300 (в десятичной этот пример выглядит 45+3=48).

Кроме того, первая цифра в частном может быть только 1, поскольку если 33 умножать на другие числа в четверичной системе, то будут получаться уже трехзначные числа.

Получим:

В четверичной системе: 33+3=102 (в десятичной этот пример выглядит 15+3=18).

А значит, найдены последние три цифры ребуса:

Ответ: 102003:33 = 1031 (деление выполнено в четверичной системе).