Два квадрата (4-5 класс)

Задание.
Даны два равных квадрата. Как разрезать каждый из них на две части так, чтобы из получившихся частей можно было сложить квадрат?
Решение.
Каждый из двух квадратов разрезается по диагонали, 4 прямоугольных треугольника складываются в новый квадрат.

Разрезание квадрата (5-6 класс)

Задание.
Разрежьте квадрат на 2 равных десятиугольника.
Решение.
Разобьем квадрат на 16 равных по площади квадратов (4х4).

Ресурсы:

http://mmmf.msu.ru/archive/20052006/z5/3.html

http://problems.ru/view_by_subject_new.php?parent=373

Квадрат из палочек (5-6 класс)

Задание.
Рисунок составлен из 24 палочек одинаковой длины. Какое наибольшее количество квадратов разрушится, если убрать одну палочку?

 Решение.

1) Убираем одну из палочек центрального квадрата.

На рисунке показано, что разрушатся 2 маленьких квадрата и 2 квадрата среднего размера. Всего разрушается 4 квадрата.

2) Убираем одну из средних палочек на стороне большого квадрата.

На рисунке показано, что разрушится 1 маленький квадрат, и 2 среднего размера квадрата.

А также самый большой квадрат:

Всего разрушается также 4 квадрата.

3) В остальных случаях квадратов разрушается по 3 квадрата.

Два маленьких квадрата и 1 квадрат среднего размера.

4) Этот случай – также 3 квадрата.

Один маленького размера, один среднего размера и один самый большой.

Ответ: 4 квадрата – наибольшее количество.

Разрезание квадрата (5-6 класс)

Задание.
Докажите, что изображенную на рисунке фигуру нельзя разрезать на прямоугольники, состоящие из трех клеток. 
Решение.

рис.1

1) В фигуре содержится 8х9-12=60 клеток, которые надо разрезать на 60:3=20 прямоугольников, состоящих из трех клеток.

2) Закрасим зеленым цветом клетки в фигуре как показано на рис.1.

3) Любой прямоугольник из трех клеток всегда содержит одну и только одну закрашенную клетку. Примеры расположения прямоугольников также показаны на рис.1.

4) Но закрашенных клеток на фигуре оказалось 21, а прямоугольников должно быть 20. Получилось противоречие. Значит, эту фигуру нельзя разрезать на прямоугольники, состоящие из трех клеток.

Ответ: нельзя разрезать.

Литература.

Екимова Марина Алексеевна, Кукин Георгий Петрович. Задачи на разрезание.

http://ilib.mccme.ru/pdf/kukin.pdf

Паркет (5-6 класс)

Задание.

Набор «Юный паркетчик» состоит из 12 плиток определенной формы (рис. 1), плотно уложенных в один слой в коробку размером 6×6 клеток. Хулиган Вася сломал одну плитку, и ее заменили плиткой другой формы (рис. 2). Удастся ли теперь все детали уложить в эту же коробку?

Решение.

Каждая горизонтальная полоска состоит из трех клеток. Присвоим каждой клетке квадрата 6х6 числа 0,1 или 2 по порядку (остатки от деления целых чисел на 3).

При любой укладке горизонтальной полоски сумма чисел в ней получается 0, 3 или 6 и делится на три (рис.1). Значит, и при укладке 11 таких плиток сумма чисел во всех клетках этих плиток также будет делиться на три.

Если угловую плитку из трех клеток можно уложить вместе с 11-тью горизонтальными плитками, то сумма чисел внутри нее также должна делиться на три.

Но на рис.2 видно, что при любой укладке угловой плитки сумма чисел внутри нее не делится на три. Сумма получается 1, 2, 4 или 5. Значит, одну угловую плитку вместе с одиннадцатью горизонтальными уложить в коробку 6х6 нельзя.

Ответ: нельзя уложить.