Улитка на колонне

Задача.
(«Высшая проба», 2013, 11 ) Улитка, имеющая постоянную скорость 40 см/ч, начала ползти по цилиндрической колонне из точки A. Каждые 15 минут она поворачивала поочерёдно то влево, то вправо на 90◦, а всё остальное время ползла прямо. (Углы и длины измеряются на плоской развёртке колонны.) Через 1 час 45 минут после начала путешествия улитка заметила, что снова оказалась в точке A, а через 12,5 часов после начала путешествия захотела вернуться в точку A по кратчайшему пути, уже никуда не сворачивая. Какое расстояние ей придётся проползти?

Решение.
1) Улитка проползает 40 см/ч, значит за 15 минут (¼ часа) она проползет 10 см, т.е после каждых 10 см пути по прямой улитка поворачивала поочерёдно то влево, то вправо на 90◦.
За 1 час 45 минут она проползла 7 таких участков (1 час 45 минут / 15 минут = 7). При этом она снова оказалось в точке А.
Изобразим движение улитки на плоской развертке (на ней обозначены две точки А, в пространстве на цилиндрической колонне это, разумеется, одна точка А):

12,5 часов / 1 час 45 минут = 12,5 часов / 1,75 часа = 7 1/7

Т.е. за 12,5 часов улитка 7 раз проделает путь, равный 7 участкам по 10 см, и пройдет еще один участок А^IIIВ, равный 10 см . При этом учитываем, что все нечетные пути из 7 участков по 10 см приводят улитку в ту же точку на колонне, а все четные пути приводят к смещению ее положения на 10 см вниз и на 10 см влево: 2) АА^I, 4) A^IA^II, 6) A^IIA^III. В результате смещение в точку A^III из точки А за 12 часов 15 минут - это перемещение на 30 см вниз и на 30 см влево, а из точки A^III в точку В за последние 15 минут - еще на 10 см влево.  

Т.е. АС = 30 см, ВС = 40 см.

Чтобы вернуться из точки В в точку А, улитка должна будет ползти по прямой отрезок АВ.

Его длина по теореме Пифагора равна:

АВ = √(АС² + ВС²⁾

АВ = √(30² + 40²) = 50 (см)

Ответ: 50 см. 

Рюкзаки туристов

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2014, 10–11) Общий вес рюкзаков двух туристов за время похода уменьшился на 12 ⅓%. При этом вес рюкзака первого туриста уменьшился на 15%, а вес рюкзака второго — на 10%. Известно также, что в конце похода рюкзак второго туриста весил на 1,2 кг больше, чем рюкзак первого туриста в начале похода. Определите первоначальный вес рюкзаков каждого из туристов.

Решение.

Пусть х кг - вес рюкзака первого туриста, у кг - второго.
После похода оба рюкзака весят (х + у) * (100 % - 12 ⅓%)/ 100% = (х + у) * 263/300.
С другой стороны, вес первого рюкзака стал х*(100% - 15%)/ 100% = 0,85x,
а вес второго: у*(100% - 10%)/ 100% = 0,9у.
Составим уравнение:
(х + у) * 263/300 = 0,9у + 0,85х
270/300у - 263/300у = 263/300х - 255/300х
7/300у = 8/300х
х = у *7 /8 = 0,875y
Известно также, что x = 0,9у - 1,2.
0,9у - 1,2 = 0,875y
0,025y = 1,2

y = 48 (кг)
х = 48 *7 /8  = 42 (кг)

Ответ: 42 кг и 48 кг.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Кофе с молоком

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2010, 10–11) Ваня налил себе полный стакан смеси кофе с молоком. Сначала, выпив половину смеси, он долил в стакан доверху кофе и перемешал. Затем, выпив половину новой смеси, долил в стакан доверху молоко и вновь перемешал. Доля кофе в полученной смеси оказалась равной доле кофе в исходной. Найдите эту долю.

Решение.
Примем за 1 объем всей чашки. Пусть х - доля кофе в чашке вначале.
Ваня выпил половину смеси, потом долил только кофе и перемешал, теперь количество кофе в чашке равно х/2 + 1 /2 = (х + 1)/2.
Затем он снова отпил половину смеси и доливал только молоко, количество кофе в этом случае равно (х + 1)/2 / 2 = (х + 1)/4.
По условию, последнее выражение равно х:
(х + 1)/4 = х
х + 1 = 4х
х = 1 /3

Ответ: 1 /3.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Пункты А, В, С

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2015, 8) Пункты A, B, C расположены последовательно, при- чём расстояние AB равно a км, а расстояние BC равно b км. Из пункта A выехал велосипедист и поехал в пункт C. Одновременно с ним из пункта B вышел пешеход и направился в пункт A. Известно, что пешеход и велосипедист пришли в пункты A и C одновременно. Найдите, на каком расстоянии от пункта A они встретились (a и b известны).

Решение.

Ответ: а(а + b)/(2a + b)

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Сушеные грибы

Задача.
(«Ломоносов», 2009) В свежих грибах содержание воды колеблется от 80% до 99%, а в сушёных — от 20% до 40%. В какое наибольшее число раз при этих ограничениях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

Решение.
Вес грибов уменьшится в наибольшее число раз, если максимальное содержание воды 99% в свежих грибах сократится до минимального показателя 20% в сушеных.
Пусть х - масса свежих грибов с содержанием воды 99%, тогда (1 - 0,99) * х = 0,01х - масса сухого вещества в этом количестве грибов.
В результате сушки испаряется только вода, а количество сухого вещества сохраняется и составляет 100% - 20% = 80% (0,8) от массы сушеных грибов.
Значит, масса сушеных грибов равна: 0,01х / 0,8 = 0,0125х.
Найдем, во сколько раз уменьшился вес грибов: х / 0,0125х = 80.

Ответ: в 80 раз.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Покраска дома

Задача.
(«Ломоносов», 2013, 10–11) На покраску дома жёлтой краски потребовалось больше, чем белой, на 20%, а коричневой краски — на 25% меньше, чем жёлтой. На сколько процентов коричневой и жёлтой краски суммарно потребовалось больше, чем белой?

Решение.
Пусть х - количество белой краски, тогда желтой краски потребовалось 1,2х, а коричневой -
(1 - 0,25)*1,2х = 0,9x. Желтой и коричневой краски израсходовали 1,2х + 0,9х = 2,1х.
(2,1х - х) / х * 100 % = 110 %.

Ответ: на 110 %.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Лошади, ослы и верблюды

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11) Лошадь съедает 1 ц корма за 8 дней, осёл — за 12 дней, а верблюд — за 6 дней. На сколько дней хватит 85 ц корма 7 лошадям, 5 ослам и 5 верблюдам?

Решение.
По условию, лошади требуется 1 /8 ц корма в день, ослу - 1 /12 ц, верблюду - 1 /6 ц. В день 7 лошадям потребуется  7 /8 ц, 5 ослам - 5 /12 ц и 5 верблюдам - 5 /6 ц. Вместе все  животные в день съедают 7 /8 + 5 /12 + 5 /6 (ц).
85 / (7 /8 + 5 /12 + 5 /6) = 85 / (7 /8 + 15/12) = 85 / (7 /8 + 5/4)  = 85 / (17/8) = 40 (дней)

Ответ: на 40 дней.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Сумма, произведение и частное двух чисел

Задача.

(Всеросс., 2014, I этап, 9–11) Вася задумал два числа. Их сумма равна их произведению и равна их частному. Какие числа задумал Вася?

Решение.

Пусть Вася задумал числа х и у: х ≠ 0 и у ≠ 0.

Тогда: х + у = ху = х/у

Из ху = х/у следует ху² = х, т.е. у² = 1.

Значит, у = 1 или у = -1.

При у = 1 получается х + 1 = х*1  - решений нет.

При у = -1 : х - 1 = -х ⇒ 2х = 1 ⇒ х = 1 /2.

Ответ: 1 /2 и -1.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Два брата и сестра

Задача.
(Всеросс., 2015, I этап, 9 ) В тот день, когда Диму поздравляли с днём рождения его брат и сестра, Дима сказал: «Смотрите, как интересно: я теперь вдвое старше брата и втрое старше сестры!» — «А ваш средний возраст 11 лет», — подхватил папа. Сколько лет исполнилось Диме?

Решение.
Пусть х лет Диме,  тогда его брату - х/2 года, а сестре - х/3 лет.
По условию:
(х + х/2 + х/3 )/3 = 11
(6х + 3х + 2х)/6 = 33
11х/6 = 33
х = 18 (лет)

Ответ: 18 лет.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Эскалатор

Задача.
(«Ломоносов», 2011, 7–9) Ваня опаздывал в школу и, поднимаясь бегом по эскалатору, не сразу заметил, что в момент, когда он ступил на эскалатор, из его сумки выпал учебник. Обнаружив пропажу, Ваня побежал вниз c удвоенной скоростью и через 20 секунд поднял книжку, оказавшись в этот момент ровно посередине эскалатора. От бега Ваня устал и остаток пути провёл стоя. Сколько времени провёл Ваня на эскалаторе?

Решение.

Пусть х эскалатора/сек. - скорость бега Вани,  у эскалатора/сек. - скорость эскалатора, t сек. - время, которое книга находилась на эскалаторе до того, как Ваня ее поднял. За время t книга проехала по эскалатору у * t. Ваня за время t - 20 пробежал по эскалатору вверх со скоростью
х + у  и спускался вниз 20 секунд со скоростью 2х - у (в направлении, противоположном движению эскалатора). Вверх Ваня преодолел расстояние (t - 20) * (x + y), вниз - 20 * (2x - y).
Разность между этими величинами и есть расстояние, которое проехала книга по эскалатору за время t:
(t - 20) * (x + y) - 20 * (2x - y) = у * t
xt + yt - 20x - 20y - 40x + 20y = yt
xt - 60x = 0
x * (t - 60) = 0
Очевидно, что х не равно 0 ⇒  t - 60 = 0, т.е. t = 60.
По условию: у * t = 1 /2 ⇒  у * 60 = 1 /2 и у = 1/120 эскалатора/сек.
Ваня в тот момент, когда понимал книгу, находился на эскалаторе 60 секунд и оказался посередине.  Дальше он двигался  только со скоростью эскалатора и оставшуюся  половину преодолел также за 60 секунд:
1 /2 : 1/120 = 60 (сек.)
Всего Ваня провел на эскалаторе 60 + 60 = 120 (сек.) = 2 (мин.).

Ответ: 2 минуты.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Финиш

Задача.
(Всеросс., 2014, I этап, 7–8 ) Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша — Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Решение.
Пусть х, у и z (м / сек.) - скорости Саши, Леши и Коли соответственно.
Тогда за время 100/х (сек.) Саша пробежал всю стометровку, а Леша 100 - 10 = 90 (м), т.е. 90/у = 100/х (1). Аналогично, 100/у = 90/z (2).
Из (1), (2) ⇒  z = 0,9y = 0,81x.
Определим расстояние, которое пробежал Коля со скоростью 0,81х (м/сек.) за время 100/х (сек.): 0,81x * 100/ x = 81 (м).
Значит, в момент финиша Саши Коля отставал от него на 100 - 81 = 19 (м).

Ответ: 19 м.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Весь путь

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 7–9) После того как пешеход прошёл половину пути и 1 км, ему осталось пройти 1/3 пути и 1 км. Чему равен весь путь?

Решение.
Пусть х км - весь путь, тогда:
х = х/2  + 1 + х /3 + 1
х/6 = 2
х = 12 (км)

Ответ: 12 км. 

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Участники конкурса

Задача.
(«Ломоносов», 2012, 7, 9) В результате проведённого в школе конкурса юных талантов призы получили 58% участников. Довольными итогами конкурса остались 95% участников, причём 60% из них получили призы. Какая часть недовольных участников конкурса получила призы?

Решение.
Пусть х - число  участников конкурса, тогда 0,58х участников (58%) получили призы.
Довольными итогами конкурса остались 0,95х участников (95%), из них получили призы: 0,6*0,95x = 0,57x (60% от 0,95х).
Подсчитаем недовольных участников конкурса: х - 0,95х = 0,05х, и недовольных участников конкурса, получивших призы: 0,58х - 0,57x = 0,01х.
0,01х / 0,05х = 0,2 (20%).

Ответ: 1/5 часть или 20%.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Симметричное число

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 7–9) Водитель машины заметил, что одометр (счётчик пройденного расстояния) показывает симметричное число (т. е. число, которое одинаково чи- тается слева направо и справа налево) 15951. Ровно через час одометр показал другое симмет- ричное число. С какой скоростью ехала машина, если в течение всего этого часа она ехала с постоянной скоростью?

Решение.
По условию, новые показания счетчика оценивали через час, т.е. 15951 увеличилось на число, равное постоянной скорости машины. За час машина может пройти примерно 60 - 130 км.
Значит, цифра 1 в разряде "десятки тысяч" не могла измениться. Новые показания счетчика также симметричны, т.е. в разряде "единицы" должна быть 1: 1***1.
Разряд "тысячи" при добавлении сотен и десятков может увеличиться только на 1, поэтому теперь вместо 5 стоит 6.  Значит, в разряде десятков также стоит 6: 16*61. Т.е. в числе, обозначающем скорость машины, - 1 десяток (61 - 51 = 10).
Осталось определить цифру в разряде "сотни". Если добавить 1 сотню, то вместо 9 будет стоять 0, новые показания счетчика имеют вид 16061, т.е. скорость машины была 110 км/ч. На современном автобане автомобиль может развивать скорость до 250 км/ч, поэтому ответ 210 км/ч и новые показания счетчика 16161 также можно считать верными.

Ответ: 110 км/ч или 210 км/ч.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Десять коров

Задача.
В стаде 10 коров. Первая корова может съесть стог сена за 1 день, вторая за 2 дня, и т.д. десятая за 10 дней. Кто быстрее съест один стог сена: первые две коровы вместе или остальные восемь.

Решение.
Скорости поедания стога сена для каждой коровы соответственно равны:
1, 1 /2, 1 /3, ..., 1 /10 стога в день.
Определим скорость поедания стога для первых двух коров вместе:
1 + 1 /2 = 3/2 = 1,5 стога сена в день.
Значит, один стог сена эти две коровы съедят за 1 / (3/2) = 2 /3 ≈ 0,67 дня.
Определим скорость поедания для восьми остальных коров вместе:
1 /3 + 1 /4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1 /8 + 1/9 + 1/10 = 0,1 + 0,25 + 0,2 + 0,125 + 1 /3 + 1/9 + 1/6 + 1/7 =
0,675 + 11/18 + 1/7 = 0,675 + 95/126  ≈ 0,675 + 0,754 = 1,429  ≈ 1,4 стога сена в день.
Восемь остальных коров съедят один стог сена за 1 / 1,4 ≈ 0,71 дня.

Ответ: две первые коровы вместе быстрее съедят стог сена, чем остальные восемь.

Ресурсы:
http://remshagu.ru/Nashi_proekts/summer%20mathematical%20school/2012/МатбойКОГ10-11(2012).pdf

Лимонный сок

Задача.
(Всеросс., 2015, I этап, 8) Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через неко- торое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?

Решение.
Пусть х - объем лимонного сока в напитке с концентрацией 15%. Тогда количество напитка, произведенного из этого объема сока, равно х / 0,15 = 20/3 х. Этот же объем сока стал использоваться для производства напитка с концентрацией 10% . Значит, объем произведенного напитка теперь равен х / 0,1 = 10 х.
Оценим, на сколько процентов увеличилось количество напитка:
(10 х - 20/3 х)/ (20/3 х) * 100 % = 50 %

Ответ: на 50 %.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Эликсир молодости

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2013, 7–8) Великий алхимик Теофраст фон Парацетамол приготовил колбу с водным раствором эликсира вечной молодости. Первому покупателю Теофраст продал 1/2013 часть объёма колбы и затем долил колбу доверху дистиллированной водой. Второму покупателю он продал 1/2012 часть объёма колбы и снова долил водой, и так далее. Последнему покупателю он продал 1/2 колбы и снова долил колбу водой. В результате концентрация эликсира молодости в колбе стала равна 0,02%. Какова была изначальная концентрация эликсира?

Решение.
После первого покупателя концентрация эликсира (в долях) равна: 1 - 1/ 2013 = 2012/ 2013.
После второго покупателя (2012/ 2013) * (1 - 1/ 2012) = (2012/ 2013) * (2011/ 2012).
И т.д. После последнего покупателя она станет равной (2012/ 2013) * (2011/ 2012) * ... * 1 /2.
После сокращения дробей получаем, что доля эликсира в растворе после последнего покупателя равна 1/ 2013. Это соответствует концентрации раствора 0,02%.
Найдем начальную концентрацию:
0,02% / (1/ 2013) = 40,26%

Ответ: 40,26%.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Шариковые ручки

Задача.
(«Ломоносов», 2014, 10–11) Шариковая ручка стоит 10 рублей, гелевая — 40 рублей, а перьевая — 60 рублей. Какое наибольшее количество шариковых ручек можно купить при условии, что всего нужно купить ровно 15 ручек и среди них должны быть ручки всех трёх типов, а истратить на них нужно ровно 500 рублей?

Решение.

Ответ: 6 шариковых ручек.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/pz.pdf

Тетради, ручки, блокноты

Задача.
(ОММО, 2011 ) Одна тетрадь, 3 блокнота и 2 ручки стоят 98 рублей, а 3 тетради и блокнот — на 36 рублей дешевле 5 ручек. Сколько стоит каждый из предметов, если тетрадь стоит чётное число рублей? (Каждый из этих предметов стоит целое число рублей.)

Решение.

Ответ: 4; 22; 14.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/pz.pdf

Куб и квадрат

Задача.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11 ) Вася возвёл какое-то целое число в куб и умножил результат на два. Петя возвёл другое целое число в квадрат и умножил результат на три. Оказалось, что ответы совпали. Какое число взял каждый из ребят, если эти числа отличаются не более чем на 100 (перечислите все возможные варианты)?

Решение.

Ответ: (6;12), (6;-12), (24;96).
Ресурсы:

http://mathus.ru/math/pz.pdf