Игра в слова

Задача.
Саша и Женя играют в такую игру. Саша пишет слово русского языка. Женя заменяет в нем каждую букву на другую букву так, чтобы были выполнены такие правила.
1) Гласная буква меняется на согласную, согласная — на гласную.
2) В получившемся слове буквы следуют в алфавитном порядке.
Пример. Саша написала: МАМА. Женя может написать, например, ЕНОТ или ИКУЦ. Но не может написать ПАПА или ОРЁЛ.
Саша написала: МИР.
Сколько таких слов, которые могла бы написать Женя, есть среди следующих слов: 
ЕСТ, УТЮГ, АСЯ, ИРА, ТИР, ОЛЯ, РИМ?

Решение.
Слово МИР образовано из согласной, гласной и согласной. Значит, слово, написанное Женей, будет соответствовать схеме: гласная - согласная - гласная. Из списка ЕСТ, УТЮГ, АСЯ, ИРА, ТИР, ОЛЯ, РИМ такой схеме соответствуют только три слова: АСЯ, ИРА, ОЛЯ.  Но в словах ИРА и ОЛЯ буквы расположены не в алфавитном порядке. Значит, подходит только 1 слово АСЯ.

A-1; Б-2; В-3; Г-4; Д-5; Е-6; Ё-7; Ж-8; З-9; И-10; Й-11; К-12; Л-13; М-14; Н-15; О-16; П-17; Р-18; С-19; Т-20; У-21; Ф-22; Х-23; Ц-24; Ч-25; Ш-26; Щ-27; Ъ-28; Ы-29; Ь-30; Э-31; Ю-32; Я-33.

Ответ: 1.

Ресурсы:
https://ege.yandex.ru/informatics/1/

Игрушечная азбука

Задача.
(«Курчатов», 2014, 7–8 ) От двух игрушечных азбук осталось всего 14 букв. Каждая буква первой азбуки тяжелее любой буквы из второй, но если буквы взяты из одной и той же азбуки, то весят поровну. Известно, что составленное из этих букв слово ЦИРКУЛЬ легче, чем слово ЧАСТНОЕ, слово ЧАСТЬ легче, чем КРЕСТ, а буква Е легче Ь. Определите все тяжёлые буквы.

Решение.
1) В словах ЦИРКУЛЬ и ЧАСТНОЕ - по 7 букв и нет повторяющихся. По условию, букв всего 14. Значит, среди всех рассматриваемых кубиков - нет с одинаковыми буквами вообще (каждая буква или из набора легких кубиков,  или из набора тяжелых, но только из одного).
2) Рассмотрим слова ЧАСТЬ и КРЕСТ. Из первого пункта следует, что буквы СТ весят одинаково, значит рассматривать нужно только сочетания  ЧАЬ и КРЕ.
Известно, что Е легче Ь, а ЧАЬ легче КРЕ. Это возможно только в том случае, если ЧА - из более легкой азбуки, а КР - из более тяжелой, т.е. в ЧАЬ - 2 буквы легкие, одна тяжелая, а в КРЕ - 1 буква легкая, 2 тяжелые. Легко проверить, что при любых других вариантах получается, что КРЕ весит или также, или меньше, чем ЧАЬ.
3) Рассмотрим ЦИРКУЛЬ и ЧАСТНОЕ, учитывая, что КРЬ - тяжелые кубики, ЧАЕ - легкие.
Слово ЦИРКУЛЬ может быть легче, чем слово ЧАСТНОЕ,  только в случае, если все неизвестные по весу в слове ЦИРКУЛЬ буквы ЦИУЛ - легкие , а все неизвестные по весу в слове ЧАСТНОЕ буквы СТНО - тяжелые, т.е. если в слове ЦИРКУЛЬ - 4 легкие и 3 тяжелые буквы, а в слове ЧАСТНОЕ - 3 легкие и 4 тяжелые. При любых других вариантах условие задачи не выполняется.
4) Все тяжелые буквы: КРЬСТНО.

Ответ: КРЬСТНО.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/sborsol.pdf

Управдом Остап Бендер

Задача.
Управдом Остап Бендер собирал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич из 105-й квартиры поинтересовался, почему у них во втором подъезде надо собрать денег на 40% больше, чем в первом, хотя квартир там и тут поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что двузначные номера стоят вдвое, а трёхзначные — втрое больше, чем однозначные. Сколько квартир в подъезде?

Решение.
Рассмотрим случай, когда все 9 квартир с однозначными номерами (№1 - №9) находятся в первом подъезде, а вот 90 квартир с двузначными номерами  (№10 - №99) располагаются как в первом, так и во втором подъезде.
Пусть х - количество квартир в подъезде, у - плата за однозначный номер, тогда:
1) плата за двузначный номер равна 2у, за трехзначный - 3у;
2) в первом подъезде:
с жильцов с однозначными номерами квартир соберут плату 9у;
квартир с двузначными номерами там х - 9,
значит плату с них соберут - 2у * (х - 9);
3) во втором подъезде:
квартир с двузначными номерами расположено 90 - (х - 9) = 99 - х,
плату с них соберут (99 - x) * 2y;
квартир с трехзначными номерами расположено х - (99 - х) = 2х - 99,
плату с них соберут (2х - 99) * 3y.
Учитывая, что во втором подъезде плата на на 40% больше (т.е. в 1,4 раза), имеем:
1,4 * (9у + 2у * (х - 9)) = (99 - x) * 2y + (2х - 99) * 3y
Поделим обе части уравнения на переменную у, не равную 0, и упростим:
2,8x - 12,6 = 4x - 99
1,2х = 86,4
х = 72
Случай, когда в первом подъезде находятся все квартиры с однозначными номерами, все квартиры с двузначными номерами, остальные квартиры (х – 99) имеют трёхзначные номера, а во втором подъезде все номера трёхзначные, противоречит условию задачи.
Действительно, уравнение тогда примет вид:
1,4 · (9у + 90 · 2у + (х – 99) · 3у) = 3ху.
Решая его, получаем х = 126, но в этом случае 105-я квартира не могла быть во втором подъезде.

Ответ: 72.

Ресурсы:
http://mmmf.msu.ru/archive/19992000/spivak67/s_urav.html

Вода и лед

Задача. 
При замерзании вода увеличила свой объем на 1/11 часть. На какую часть своего объема уменьшится лед при обратном процессе (превращении в воду)?

Решение.
Пусть х - начальный объем воды, тогда x * 12/11 - объем образовавшегося льда. При замерзании и оттаивании изменение объема происходит на  x / 11. Найдем, какую часть это составляет от образовавшегося льда:
(x / 11) / (x * 12/11) = 1/12.

Ответ: 1/12.

Ресурсы:
http://infourok.ru/materialy_turnira_osennie_matematicheskie_igry-334272.htm

Математический фокус

Задача.
Вася предложил Диме задумать любое число, затем умножить его на 18, прибавить 810 и разделить на 9. После этого он попросил вычесть какое-то число из полученного результата и сразу угадал, что получилось у Димы. Как он это сделал и какое число предложил вычесть?

Решение.
Пусть х - число, задуманное Димой. После умножения на 18, прибавления 810 и деления на 9 получится: (х * 18 + 810) / 9 = 2х + 90. Очевидно, что вычесть нужно часть, содержащую х, только в этом случае Вася сможет точно угадать результат (числа 18, 810 и 9 он называл Диме сам). Следовательно, Вася должен попросить вычесть 2х (например, сказать следующее: "Вычти из этого задуманное тобой число, увеличенное в 2 раза"). После этого Вася сразу называет результат - 90.

Ответ: Вася должен предложить вычесть задуманное Димой число, увеличенное в 2 раза.

Ресурсы:
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000016/index.shtml

22-й и 24-й президент

Задача-шутка.
У 22-го и 24-го президентов США были общий отец и общая мать, но эти президенты не были братьями. Как это могло быть?

Решение. 
Стивен Гровер Кливленд был 22-м и 24-м президентом США в 1885 -1889 и в 1893 -1897 гг. Естественно, он сам себе братом не является, условие задачи выполнено.

Ресурсы:
http://www.smekalka.pp.ru

Часы с боем

Задача.
Сколько ударов в сутки делают часы с боем?

Решение.
Каждый час мы слышим столько ударов, сколько показывают стрелки часов (от 1 до 12). Найдем это количество ударов, используя формулу суммы членов арифметической прогрессии:
1 + .... + 12 = (1 + 12) * 12 / 2 =  78.
За сутки стрелки часов проходят круг от 1 до 12 дважды, значит число ударов за 24 часа:
78 * 2 = 156.
Если часы с боем отсчитывают также и каждые полчаса одним ударом,  то количество ударов в сутки увеличится еще на 24: 156 + 24 = 180.

Ответ: 156 или 180.

Ресурсы:
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000016/index.shtml

Сумма и произведение

Задача.
Лев взял два натуральных числа, прибавил их сумму к их произведению и в результате получил 1000. Какие числа мог взять Лев? Найдите все варианты.

Решение. 
Пусть х,у - взятые Львом числа, тогда: х + у + ху = 1000.
Прибавим к обеим частям единицу: 1 + х + у + ху = 1001, т.е. (1 + х) * (1 + у) = 7∙11∙13.
Числа х и у натуральны, значит 1 + х > 1 и 1 + у > 1.
Выполняется один из шести вариантов:
а) 1 + х = 7, 1 + у = 11 * 13, откуда х = 6, у = 142;
б) 1 + х = 11, 1 + у = 7 * 13, откуда х = 10, у = 90;
в) 1 + х = 13, 1 + у = 7 * 11, откуда х = 12, у = 76;
и ещё три симметричных случая (х и у меняются местами).

Ответ: 6 и 142, 10 и 90, 12 и 76.

Ресурсы:
http://www.formulo.org/media/cms_page_media/53/FETT2-solutions_1.pdf

Прогноз эксперта

Задача.
В начале года американский доллар стоил 80 европейских центов. Эксперт дал прогноз, что в течение года курс евро по отношению к рублю вырастет на 8% (то есть за 1 евро можно будет купить на 8% рублей больше, чем в начале года), а курс доллара по отношению к рублю упадёт на 10%. Если прогноз сбудется, то сколько американских центов будет стоить евро в конце года?

Решение.
Первый способ.
Пусть в начале года х рублей стоят 100 европейских центов, а х * 80/100 = 0,8x стоят 80 европейских центов или 100 американских центов.
В конце года (1 + 0,08) * x = 1,08х рублей будут стоить 100 европейских центов, а
0,8x * (1 - 0,1) = 0,72x рублей будут стоить 100 американских центов.
В конце года курс одного европейского цента к одному американскому равен 1,08х / 0,72x = 1,5.
Определим, сколько американских центов будет стоить 100 европейских центов:
1,5 * 100 = 150.

Второй способ.
Выберем сумму в рублях, которой в конце года будет соответствовать 1 евро (т.е. 100 европейских центов). В начале года ей же соответствовали 108 европейских центов или 108∙100/80 = 135 американских центов. Следовательно, в конце года ей будут соответствовать 135∙100/90 = 150 американских центов.

Ответ: 150 американских центов.

Ресурсы:
http://www.formulo.org/media/cms_page_media/53/FETT2-solutions_1.pdf

Семья Олимпионовых

Задача.
В семье Олимпионовых принято особо отмечать день, когда человеку исполняется столько лет, какова сумма цифр его года рождения. У Коли Олимпионова такой праздник настал в 2013 году, а у Толи Олимпионова — в 2014. Кто из них старше и на сколько лет?

Решение.
Очевидно, что возможный год рождения находится в промежутке от 1900 до 2014 года.
1) Допустим, что первые цифры года рождения Коли  - 19, их сумма равна 10. Осталось определить последние две цифры (обозначим их х и у).
2013 - (1900 + 10х + у) = 10 + х + у
103 = 11х + 2 у
Поскольку х и у - цифры, то возможно только одно решение: х = 9 и у = 2.
Т.е. год рождения Коли может быть 1992, в 2014 году ему исполнилось 22 года.
2) Допустим, что первые цифры года рождения Коли  - 20, их сумма равна 2. Имеем:
2013 - (2000 + 10х + у) = 2 + х + у
11 = 11х + 2 у
Поскольку х и у - цифры, то возможно только одно решение: х = 1 и у = 0.
Т.е. год рождения Коли может быть 2010, в 2014 году ему исполнилось 4 года.
3) Допустим, что первые цифры года рождения Толи  - 19, их сумма равна 10. Осталось определить последние две цифры (обозначим их х и у).
2014 - (1900 + 10х + у) = 10 + х + у
104 = 11х + 2 у
Поскольку х и у - цифры, то возможно только одно решение: х = 8 и у = 8.
Т.е. год рождения Толи может быть 1988, в 2014 году ему исполнилось 26 лет.
4) Допустим, что первые цифры года рождения Толи  - 20, их сумма равна 2. Имеем:
2014 - (2000 + 10х + у) = 2 + х + у
12 = 11х + 2 у
Поскольку х и у - цифры, то возможно только одно решение: х = 0 и у = 6.
Т.е. год рождения Толи может быть 2006, в 2014 году ему исполнилось 8 лет.
5) Определим возможную разницу в возрасте.
22 - 8 = 14
8 - 4 = 26 - 22 = 4
26 - 4 = 22

Ответ: Коля старше на 14 лет; или Толя старше на 4 года; или Толя старше на 22 года. 

Ресурсы:

http://www.formulo.org/media/cms_page_media/53/FETT2-solutions_1.pdf

Клад из золота и серебра

Задача.
Братья нашли клад из золота и серебра. Они разделили его так, что каждому досталось по 100 кг. Старшему досталось больше всего золота — 30 кг — и пятая часть всего серебра. Сколько золота было в кладе?

Решение.
Старшему брату досталось 30 кг золота и 100 - 30 = 70 кг серебра. Общая масса серебра клада равна 70 * 5 = 350 кг, а т.к. каждому досталось по 100 кг, то братьев должно быть больше 3-х.
Пусть братьев четверо, тогда масса золота клада равна 4 * 100 - 350 = 50 кг. Старшему брату досталось 30 кг из этого золота, а другим четырем 50 - 30 = 20 кг.
Пусть братьев пятеро, тогда масса золота клада равна  5 * 100 - 350 = 150 кг. Старшему брату досталось 30 кг из этого золота, а другим четырем 150 - 30 = 120 кг. Если 120 кг разделить поровну на 4, то каждому из оставшихся четырех братьев достанется по 30 кг, что противоречит условию (старшему досталось больше всего золота — 30 кг). Если 120 кг поделить не поровну, то тем более кому-то из четырех братьев достанется больше 30 кг, что опять же противоречит условию. Следовательно, братьев не может быть пятеро. Легко видеть, что их вообще не может быть больше четырех.

Ответ: 50 кг.

Ресурсы:
http://www.formulo.org/media/cms_page_media/58/Istoriya.pdf

Три человека и два велосипеда

Задача.
Три человека хотят приехать из города A в город B, расположенный в 45 километрах от A. У них есть два велосипеда. Скорость велосипедиста 15 км/ч, пешехода — 5 км/ч. За какое минимальное время они смогут добраться до B, если велосипед можно оставлять на дороге без присмотра?

Решение.
Первый человек берет первый велосипед и проезжает 2 /3 от всего пути (45 * 2 /3 = 30 км). Дальше он оставляет  велосипед на дороге и оставшуюся 1 /3 часть пути идет пешком (45 * 1 /3 = 15 км).
Второй человек начинает движение вместе с первым и берет второй велосипед, на котором проезжает 1 /3 от всего пути (15 км). Потом он оставляет велосипед на дороге и 1 /3 часть пути идет пешком (15 км). Дальше он подбирает на дороге первый велосипед и оставшуюся 1 /3 часть пути (15 км) едет на нем.
Третий человек также начинает движение вместе с первым и вторым, но первую 1 /3 дороги (15 км) идет пешком. Дальше он подбирает второй велосипед и проезжает 2 /3 от всего пути (30 км).
Общее время, затраченное на дорогу, для всех одинаково (т.е. все они выйдут из А и прибудут в В одновременно):
30 км : 15 км/ч + 15 км : 5 км/ч = 5 часов.

Ответ: 5 часов.

Ресурсы:
http://www.formulo.org/media/cms_page_media/58/Istoriya.pdf

Бочонок вина

Старинная задача.
Двое должны разделить поровну 16 ведер вина, находящихся в шестнадцативедерном бочонке. Но у них есть еще только два пустых бочонка, в один из которых входит 11 ведер, а в другой - 6. Спрашивается, как они могут разделить это вино, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение. 
Из полного шестнадцативедерного бочонка нужно отливать вино в пустые бочонки, затем из них переливать опять и т. д.
Первый способ.
16-ведерный  11-ведерный  6-ведерный
16                      0                     0
10                      0                     6
0                        10                   6
6                        10                   0
6                        4                     6
12                      4                     0
12                      0                     4
1                       11                    4
1                       9                      6
7                       9                      0
7                       3                      6
13                     3                      0
13                     0                      3
2                       11                    3
2                       8                      6
8                       8                      0

Второй способ.
16-ведерный  11-ведерный  6-ведерный
16                      0                     0
10                      0                     6
10                      6                     0
4                        6                     6
4                        11                   1
15                      0                     1
15                      1                     0
9                        1                     6
9                        7                     0
3                        7                     6
3                       11                    2
14                     0                      2
14                     2                      0
8                       2                      6
8                       8                      0

Ресурсы:
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000016/index.shtml

Крестьяне и картофель

Старинная задача.
Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять Заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение.
Первый способ.
Пусть х картофелин сварила хозяйка, тогда после обеда первого крестьянина осталось
(1 - 1 /3) * x  = 2 /3 х, после обеда второго - 2 / 3 * (2 / 3 x) = 4/9 x, после обеда третьего -
 2 / 3 * (4 / 9 x) = 8/27 x. По условию: 8/27 x = 8. Следовательно, х = 27.
Очевидно, что первый крестьянин съел свою долю 1 / 3 * 27 = 9 картофелин; второй съел -
1 / 3 * (2 / 3 * 27)  = 6, ему остается 9 - 6 = 3 картофелины; второй съел - 1 / 3 * (2 / 3 * 27)  = 6, ему остается 9 - 6 = 3 картофелины; второй съел - 1 / 3 * (4 / 9 * 27)  = 4, ему остается 9 - 4 = 5 картофелин.

Второй способ.
Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т. е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, по 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.
Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.

Ответ: 27 картофелин всего; первый, второй и третий - 9 и 0, 6 и 3, 4 и 5 соответственно.

Ресурсы:
http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000016/index.shtml

Финиш

Задача.
(Всеросс., 2014, I этап, 7–8 ) Саша, Лёша и Коля одновременно стартовали в забеге на 100 м. Когда Саша финишировал, Лёша находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Лёша — Коля находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Саша и Коля, когда Саша финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Решение.
Пусть х, у и z (м / сек.) - скорости Саши, Леши и Коли соответственно.
Тогда за время 100/х (сек.) Саша пробежал всю стометровку, а Леша 100 - 10 = 90 (м), т.е. 90/у = 100/х (1). Аналогично, 100/у = 90/z (2).
Из (1), (2) ⇒  z = 0,9y = 0,81x.
Определим расстояние, которое пробежал Коля со скоростью 0,81х (м/сек.) за время 100/х (сек.): 0,81x * 100/ x = 81 (м).
Значит, в момент финиша Саши Коля отставал от него на 100 - 81 = 19 (м).

Ответ: 19 м.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Весь путь

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 7–9) После того как пешеход прошёл половину пути и 1 км, ему осталось пройти 1/3 пути и 1 км. Чему равен весь путь?

Решение.
Пусть х км - весь путь, тогда:
х = х/2  + 1 + х /3 + 1
х/6 = 2
х = 12 (км)

Ответ: 12 км. 

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Симметричное число

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 7–9) Водитель машины заметил, что одометр (счётчик пройденного расстояния) показывает симметричное число (т. е. число, которое одинаково чи- тается слева направо и справа налево) 15951. Ровно через час одометр показал другое симмет- ричное число. С какой скоростью ехала машина, если в течение всего этого часа она ехала с постоянной скоростью?

Решение.
По условию, новые показания счетчика оценивали через час, т.е. 15951 увеличилось на число, равное постоянной скорости машины. За час машина может пройти примерно 60 - 130 км.
Значит, цифра 1 в разряде "десятки тысяч" не могла измениться. Новые показания счетчика также симметричны, т.е. в разряде "единицы" должна быть 1: 1***1.
Разряд "тысячи" при добавлении сотен и десятков может увеличиться только на 1, поэтому теперь вместо 5 стоит 6.  Значит, в разряде десятков также стоит 6: 16*61. Т.е. в числе, обозначающем скорость машины, - 1 десяток (61 - 51 = 10).
Осталось определить цифру в разряде "сотни". Если добавить 1 сотню, то вместо 9 будет стоять 0, новые показания счетчика имеют вид 16061, т.е. скорость машины была 110 км/ч. На современном автобане автомобиль может развивать скорость до 250 км/ч, поэтому ответ 210 км/ч и новые показания счетчика 16161 также можно считать верными.

Ответ: 110 км/ч или 210 км/ч.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Автомобили на перекрестке

Задача.

После встречи двух автомобилей на перекрестке один из них поехал на север, а другой на восток. Через пять часов после встречи расстояние между ними было 500 км. Найти скорость каждого автомобиля, если известно, что скорость одного из них была на 20 км/час больше скорости второго.

Решение.

Пусть х км/ч - скорость первого автомобиля, х + 20 км/ч - второго. Автомобили двигались в перпендикулярных направлениях - значит, квадрат расстояния между ними равен сумме квадратов расстояний, пройденных каждым автомобилем:

5²*х² + 5²*(х + 20)² = 500²

2х² + 40х + 400 = 10000

х² + 20х - 4800 = 0

D = 400 – 4 * (- 4800) = 19600

x = (- 20 + 140)/2 = 60 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

х + 20 = 60 + 20 = 80 (км/ч) – скорость второго.

Ответ: 60 и 80 км/ч.

Типографии

Задача.
Две типографии получили заказ: одна должна была напечатать 8000 экземпляров книг,  другая за тот же срок  должна  была  отпечатать 15000 книг. Первая закончила  выполнение  заказа за 4 дня до срока, а вторая — за 5 дней до срока. Сколько  экземпляров в  день отпечатала каждая типография, если вторая изготавливала в день в два раза больше книг, чем первая?

Решение.
Пусть х книг  в день отпечатала первая типография, 2х - вторая.  8000 / х дней выполняла заказ первая, 15000 / 2х дней - вторая.
 8000 / х + 4 = 15000 / 2х + 5
(16000 - 15000) / 2х = 1
1000 = 2х
х = 500 (книг/день) - первая типография;
2х = 1000 (книг/день) - вторая.

Ответ: 500 и 1000 книг в день.

Автомобиль и автобус

Задача.
Из пункта А в пункт В выехал автобус. Спустя 30 минут вслед за ним из пункта А выехал автомобиль. Через 1 час 15 минут после своего выхода он, обогнав автобус, находился на расстоянии 2 км от него. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 30 км/ч меньше скорости автомобиля.

Решение.
Пусть х км/ч - скорость автобуса, х + 30 км/ч - скорость автомобиля. Тогда расстояние, пройденное автобусом, равно (0,5 +1,25)*х км; расстояние, пройденное автомобилем -
1,25*( х+30) км . По условию автомобиль обогнал автобус на 2 км:
1,25*( х+30) - (0,5 +1,25)*х = 2
0,5*х = 35,5
х = 71 (км/ч)

Ответ: 71 км/ч.