Две сотни

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11) Найдите сумму общих членов прогрессий 12, 15, 18, ...и 1, 3, 9, ..., если в каждой из них 100 членов.

Решение.

Ответ: 351.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/posled.pdf

Уменьшенная прогрессия

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2013, 10–11) Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 63, а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на 8, но не менее, чем на 7. Определите, какой может быть разность этой прогрессии.

Решение.

Ответ: 2 ; 21/8.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/posled.pdf

2013-й

Задача.
Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Найдите 2013-й член последовательности.

Решение.

Ответ: 130.

Прогрессия

Задача.
(ОММО, 2015, 9–11) Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической про- грессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как 5 : 4. Найдите количество членов этой прогрессии.

Решение.

Ответ: 22.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/posled.pdf

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задача.
Сумма трех положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что при увеличении первого и второго чисел на 1, а третьего числа - на 4 мы получим геометрическую прогрессию.

Решение.

Обозначим а₁, а₂, а₃ > 0 - числа, образующие арифметическую прогрессию; d - разность прогрессии.

а₁ + а₂ + а₃ = а₁ + а₁ + d + а₁ + 2d = 3 (a₁ + d) = 15 ⇒ 

a₁ + d = 5 = a₂  и  a₁ + a₃ = 10 ⇒

а₃ = 10 - а₁ (*)

По условию:

(а₁ + 1) / (а₂ + 1) = (а₂ + 1) / (а₃ + 4)

(а₁ + 1) / 6 = 6 / (а₃ + 4) ⇒ с учетом (*) (а₁ + 1) / 6 = 6 / (14 - а₁) ⇒ 

(а₁ + 1)(14 - а₁) = 36

-а₁² + 14 а₁ + 14 – а₁ = 36

-а₁² + 13 а₁ - 22 = 0

а₁² - 13 а₁ + 22 = 0

D = 169 – 4*22 = 81

a₁ = (13 + 9)/ 2 = 11 (не подходит по условию (*) и а₃ > 0) 

или a₁ = (13 - 9)/ 2 = 2 ⇒ a₃ = 10 – 2 = 8

Ответ: 2, 5, 8.

Арифметические прогрессии

Задача.
Докажите, что если a², b², c²  - последовательные члены арифметической прогрессии, то числа
1/(b + c), 1/(a + c), 1/(a + b) также являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.

Решение.

Студенты

Задача.
Бодрый студент на лекции записывал по 90 слов в минуту. Сонный студент сначала был совсем сонный и за первую минуту лекции записал только одно слово. Потом он начал понемногу просыпаться и за вторую минуту лекции записал уже три слова, за третью — пять, за четвёртую — семь, и так далее.
а) Сколько времени длилась лекция, если в итоге оба студента записали слов поровну?
б) Сколько слов записал на лекции каждый студент?

Решение.
Пусть х минут длилась лекция, тогда количество слов, записанных бодрым студентом, равно 90*x.
Число слов, записанных сонным студентом возрастает в арифметической прогрессии с каждой минутой: первый член прогрессии равен 1, разность равна 2 (3-1=5-3=2), общее количество членов прогрессий совпадает с продолжительностью лекции в минутах и равно х. Сумма первых х членов этой прогрессии равна количеству слов, записанных сонным студентом.
Применяя формулу суммы :

 , 

где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов;

получим (2*1 + 2*(х-1))/2 * x =(1+x-1)*x= x² .
По условию, оба студента записали одинаковое количество слов:
90*x=x²
x=90 минут длилась лекция.
90*90=8100 слов записал каждый студент.

Ответ: а) 90 минут;  б) 8100 слов.

Ресурсы:
http://mmmf.msu.ru/archive/20142015/z8/