Сколько единиц в двоичной записи

📑 Задание

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения:
$8^{16}+2^{52}−15$ ?

📑 Решение.

8^16+2^52−15=2^52+2^48−2^4+2^0
2^52 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ и 51 символ ‘0‘
2^48 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ и 47 символов ‘0‘
2^52+2^48 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ , 3 символа ‘0‘, 1 символ ‘1‘ , 47 символов ‘0‘
2^4: 1 символ ‘1‘ , 3 символа ‘0‘
2^52+2^48−2^4 в бинарной системе: 1 символ ‘1‘ , 4 символа ‘0‘, 44 символа ‘1‘, 4 символа ‘0‘
2^52+2^48−2^4+2^0 в бинарной системе:
1 символ ‘1‘, 4 символа ‘0‘, 44 символа ‘1‘, 3 символа ‘0‘, 1 символ ‘1‘

📑 Ответ: 46

Составим слова

📑 Задание

Вася составляет 4-буквенные слова, в которых есть только буквы С, Т, Е, П, А,
причём буква Е используется в каждом слове ровно 1 раз.
Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем.
Словом считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная.
Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

📑 Решение.

1) Е занимает 4 возможных положения в словах:
Е***, *Е**, **Е*, ***Е.
2) Рассмотрим одну из этих позиций: другие буквы С, Т, П, А могут находиться в любом из оставшихся трех мест.
Таким образом, количество слов для одной позиции Е будет равно:
4∗4∗4
3) Число всех возможных слов равно:
4∗4∗4∗4=4^4=256

📑 Ответ: 256

Расшифровка радиосигнала

📑 Ресурсы

Udacity Puzzles
Mathematical Puzzles

📑 Задание

Сигнал радиостанции состоит из 16 символов двоичного кода.
Шпион со специальным оборудованием изменил эту передачу.
Получилась последовательность $0100101101011000$.
Чтобы не вызвать подозрений, он заменил всего один символ в исходном сигнале радиостанции.
Сообщение, которое передал шпион - число из четырех символов в двоичной системе.
Получатель сигнала знает, что каждой из 16-ти позиций передачи соответствует
четырехзначное число в двоичной системе в порядке возрастания.
Для расшифровки переданного сообщения адресату достаточно сложить все числа,
соответствующие единицам в передаче радиостанции.
Что передал шпион?

📑 Решение.

Каждому символу в передаче поставим в соответствие 4-значное число в двоичной системе:

Выпишем и сложим все числа, соответствующие единицам в радиосигнале.
Известно, что должно получиться 4-хзначное число.
Если просто складывать все эти числа в двоичной системе,
то получиться сумма, соответствующее 50 в десятичной системе.
Такое число невозможно зашифровать с помощью 4 символов в двоичной системе.
Значит, нужно складывать векторы с 4-мя координатами
(четное количество единиц в столбце - в итоге 0, нечетное - 1)

📑 Ответ: 1010

Доказательство делимости

📑 Задание

Доказать, что указанное выражение
$n^5-5*n^3+4*n$
делится на 120 при любом натуральном n.

📑 Решение.

Легко видеть, что получилось произведение пяти последовательных целых чисел.
Среди них найдутся два последовательных четных числа,
одно из которых обязательно делится на 2, а другое - на 4.
Значит, все произведение делится на 8.
Кроме того, среди пяти последовательных чисел есть и такое, которое делится на 5 без остатка.
Т.е. все произведение делится на 5.
Рассуждая аналогично, получим, что среди них найдется и число, которое делится на 3.
Итак: 5*3*8 = 120. Данное выражение делится на 120 без остатка.

$$\large{\mathscr{n^{5} - 5 \, n^{3} + 4 \, n = {\left(n^{4} - 5 \, n^{2} + 4\right)} n = }}$$ $$\large{\mathscr{= {\left(n^{2} - 1\right)} {\left(n^{2} - 4\right)} n = {\left(n + 2\right)} {\left(n + 1\right)} {\left(n - 1\right)} {\left(n - 2\right)} n}}$$

Доказательство по индукции

Доказать делимость указанного выражения на 19.

Прыжки кенгуренка

Задача.
Кенгуренок прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на одну координатную единицу за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кенгуренок может оказаться, сделав ровно 25 прыжков, если он начинает прыгать из точки с координатой 0?

Решение.
Число прыжков - нечетное, значит кенгуренок может оказаться только в точке с нечетной координатой (положительной или отрицательной) в промежутке от -25 до 25.

25 прыжков влево: в точке -25;
24 прыжка влево и 1 вправо: в точке -23;
...
13 прыжков влево и 12 вправо: в точке -1;
12 прыжков влево и 13 вправо: в точке 1;
...
1 прыжок влево и 24 вправо: в точке 23;
25 прыжков вправо: в точке 25.

Нечетных чисел на отрезке [-25;25]  - 26 (13 положительных и 13 отрицательных).

Ответ: 26.

Ресурсы:
Вариант 4 Задача 20.
https://ege.yandex.ru/mathematics/

Заказ

Задача.
Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Решение.
Пусть х деталей/час - производительность труда второго рабочего, (х + 1) деталей/час - первого. Тогда:
380/х - 380/(х+1) = 1

380х + 380 - 380х = х² + х

х² + х – 380 = 0

D = 1 – 4*(-380)

x = (-1 + 39)/2 = 19 (отрицательный корень не имеет смысла)

Ответ: 19 деталей.

Ресурсы:

http://www.fipi.ru

Две шахматные партии

Задача.
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. 

Решение.
Шахматист А. сыграет две партии - один раз белыми и один раз черными. Вероятность его выигрыша в обеих партиях будет равна произведению вероятностей выигрыша в каждой, поскольку это два независимых события:
0,32 * 0,5 = 0,16.

Ответ: 0,16.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/about

Растворы в одинаковом количестве

Задача.
Смешали некоторое количество 17-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 81-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.
Первый способ.
Примем за 1 количество вещества 17-процентного раствора, 1 будет равно и количество вещества 81-процентного раствора. Тогда количество чистого вещества в первом растворе будет равно 0,17, во втором - 0,81.
При смешивании количество чистого вещества будет равно 0,17 + 0,81 = 0,98; общее количество вещества: 1 + 1 = 2; концентрация получившегося раствора: 0,98/2 = 0,49 = 49%.
Второй способ.
Поскольку исходные компоненты смешиваются в одинаковых количествах, то концентрация получившегося раствора - это среднее арифметическое концентраций первого и второго растворов.
(17% + 81%)/2 = 49%.

Ответ: 49%.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Забор

Задача.
Игорь и Паша красят забор за 15 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 21 час, а Володя и Игорь — за 28 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение.
Пусть х - производительность труда Игоря в час, у - Паши и z - Володи. Примем всю работу (покрасить забор) за 1. Тогда получится система уравнений:
х + у = 1/15 (1)
у + z = 1/21 (2)
х + z = 1/28 (3).
(1) - (2) + (3):
х + у - у - z + х + z = 1/15 - 1/21 + 1/28 = 7/105 - 5/105 + 1 /28 = 2/105 + 1 /28 =
= 8/420 + 15/420 = 23/420, т.е. х = 23/840
Из (1): 23/840 + у = 1/15, т.е. у = 56/840 - 23/840 = 33/840.
Из (3): 23/840 + z = 1/28, т.е. z = 30/840 - 23/840 = 7 /840.
Определим время работы втроем, разделив работу на общую производительность труда х+у+z:
1/ (23/840 + 33/840 + 7 /840) = 1/(63/840) = 840/63 = 13 ⅓ (ч)

Ответ: за 13 часов 20 минут.

Ресурсы: 
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Длина поезда

Задача.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 1650 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минутам.

Решение.

Пусть х км - длина пассажирского поезда.  Скорость, с которой пассажирский поезд обгоняет за 3 минуты = 1 /20 ч товарный поезд, равна 90 км/ч - 40 км/ч = 50 км/ч. Длина товарного поезда в км: 1650 м = 1,65 км. Составим уравнение:
1,65 + х = 50 * 1 /20
x = 2,5 - 1,65
x = 0,85 км = 850 м

Ответ: 850 м.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Значения чисел a и b

Задача.

Ниже на пяти языках записан алгоритм, который получает на вход число x и печатает два числа a и b. Укажите наибольшее из таких чисел x, при вводе которых алгоритм сначала печатает 3, а потом 5.

Решение.

1) Сначала а = 0, а после выполнения алгоритма а = 3, значит цикл в алгоритме должен быть выполнен 3 раза (а увеличивается на 1 каждый раз), при этом значения b = 1  должно измениться и стать b = 5.

Изменение b происходит в результате умножения предыдущего значения b на множитель (х mod 10). Следовательно, b = 5 можно достичь несколькими способами:

1 * 1 * 1 * 5 = 5

1 * 1 * 5 * 1 = 5

1 * 5 * 1 * 1 = 5

2) Рассмотрим выполнение алгоритма для х = 115, 151, 511.

х	x mod 10	1-й цикл	x mod 10	2-й цикл	x mod 10	3-й цикл
115	5	а = 1 b = 1 * 5 = 5 x = 115 div 10 = 11	1	а = 2 b = 5 * 1 = 5 x = 11 div 10 = 1	1	а = 3 b = 5 * 1 = 5 x = 1 div 10 = 0
151	1	а = 1 b = 1 * 1 = 1 x = 151 div 10 = 15	5	а = 2 b = 1 * 5 = 5 x = 15 div 10 = 1	1	а = 3 b = 5 * 1 = 5 x = 1 div 10 = 0
511	1	а = 1 b = 1 * 1 = 1 x = 511 div 10 = 51	1	а = 2 b = 1 * 1 = 1 x = 51 div 10 = 5	5	а = 3 b = 1 * 5 = 5 x = 5 div 10 = 0

При х = 0 выполнение цикла прекращается.

Наибольшим среди 115, 151, 511 является 511.

Ответ: 511.

Ресурсы:

https://ege.yandex.ru/informatics/1/result/8063323/