📑 Задание
Доказать, что указанное выражение
$n^5-5*n^3+4*n$
делится на 120 при любом натуральном n.
📑 Решение.
Легко видеть, что получилось произведение пяти последовательных целых чисел.
Среди них найдутся два последовательных четных числа,
одно из которых обязательно делится на 2, а другое - на 4.
Значит, все произведение делится на 8.
Кроме того, среди пяти последовательных чисел есть и такое, которое делится на 5 без остатка.
Т.е. все произведение делится на 5.
Рассуждая аналогично, получим, что среди них найдется и число, которое делится на 3.
Итак: 5*3*8 = 120. Данное выражение делится на 120 без остатка.
$$\large{\mathscr{n^{5} - 5 \, n^{3} + 4 \, n = {\left(n^{4} - 5 \, n^{2} + 4\right)} n = }}$$ $$\large{\mathscr{= {\left(n^{2} - 1\right)} {\left(n^{2} - 4\right)} n = {\left(n + 2\right)} {\left(n + 1\right)} {\left(n - 1\right)} {\left(n - 2\right)} n}}$$
