Заказ

Задача.
Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Решение.
Пусть х деталей/час - производительность труда второго рабочего, (х + 1) деталей/час - первого. Тогда:
380/х - 380/(х+1) = 1

380х + 380 - 380х = х² + х

х² + х – 380 = 0

D = 1 – 4*(-380)

x = (-1 + 39)/2 = 19 (отрицательный корень не имеет смысла)

Ответ: 19 деталей.

Ресурсы:

http://www.fipi.ru

Забор

Задача.
Игорь и Паша красят забор за 15 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 21 час, а Володя и Игорь — за 28 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение.
Пусть х - производительность труда Игоря в час, у - Паши и z - Володи. Примем всю работу (покрасить забор) за 1. Тогда получится система уравнений:
х + у = 1/15 (1)
у + z = 1/21 (2)
х + z = 1/28 (3).
(1) - (2) + (3):
х + у - у - z + х + z = 1/15 - 1/21 + 1/28 = 7/105 - 5/105 + 1 /28 = 2/105 + 1 /28 =
= 8/420 + 15/420 = 23/420, т.е. х = 23/840
Из (1): 23/840 + у = 1/15, т.е. у = 56/840 - 23/840 = 33/840.
Из (3): 23/840 + z = 1/28, т.е. z = 30/840 - 23/840 = 7 /840.
Определим время работы втроем, разделив работу на общую производительность труда х+у+z:
1/ (23/840 + 33/840 + 7 /840) = 1/(63/840) = 840/63 = 13 ⅓ (ч)

Ответ: за 13 часов 20 минут.

Ресурсы: 
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Детали

Задача.
(ОММО, 2011) Каждому из двух рабочих поручили обработать одинаковое количество деталей. Первый выполнил работу за 8 часов. Второй потратил больше 2 часов на наладку оборудования и с его помощью закончил работу на 3 часа раньше первого. Известно, что второй рабочий через 1 час после начала работы оборудования обработал столько же деталей, сколько к этому времени первый. Во сколько раз оборудование увеличивает производительность труда?

Решение.
Примем за 1 объем работ. Тогда производительность труда первого рабочего равна 1 /8 (работы/час). 
В условии задачи не сказано, что первый рабочий начал изготавливать детали, а второй - налаживать оборудование в одно и то же время, обозначим t часов - разницу во времени между этими событиями.  Тогда второй рабочий обрабатывал детали 8 - 2 - 3 -  t  = 3 - t (часов).
Значит, его производительность труда равна 1/ (3 - t ) (работы/час).
Известно также, что объем работы второго рабочего за час 1/ (3 - t ) равен выполненному  к тому моменту объему работы первого рабочего (t + 2 + 1) * 1  /8:
1/ (3 - t ) = (t  + 3) /8
(t + 3) * (3 - t ) = 8

9 – t² = 8

t² = 1

1) t = 1, т.е. второй рабочий приступил к наладке оборудования через час после начала работы первого.
1/ ( 3 - 1) = 1 /2 (работы/час)  - производительность труда второго рабочего.
1 /2 / (1 /8) = 4 (раза) - увеличилась производительность труда.
2) t = - 1, т.е. второй рабочий приступил к наладке оборудования на час раньше начала работы первого.
1/ ( 3 - (-1)) = 1 /4 (работы/час)  - производительность труда второго рабочего.
1 /4 / (1 /8) = 2 (раза) - увеличилась производительность труда.

Ответ: в 4 раза, если второй рабочий приступил к наладке оборудования на час позже начала работы первого; в 2 раза, если второй рабочий приступил к наладке оборудования на час раньше начала работы первого.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Десять коров

Задача.
В стаде 10 коров. Первая корова может съесть стог сена за 1 день, вторая за 2 дня, и т.д. десятая за 10 дней. Кто быстрее съест один стог сена: первые две коровы вместе или остальные восемь.

Решение.
Скорости поедания стога сена для каждой коровы соответственно равны:
1, 1 /2, 1 /3, ..., 1 /10 стога в день.
Определим скорость поедания стога для первых двух коров вместе:
1 + 1 /2 = 3/2 = 1,5 стога сена в день.
Значит, один стог сена эти две коровы съедят за 1 / (3/2) = 2 /3 ≈ 0,67 дня.
Определим скорость поедания для восьми остальных коров вместе:
1 /3 + 1 /4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1 /8 + 1/9 + 1/10 = 0,1 + 0,25 + 0,2 + 0,125 + 1 /3 + 1/9 + 1/6 + 1/7 =
0,675 + 11/18 + 1/7 = 0,675 + 95/126  ≈ 0,675 + 0,754 = 1,429  ≈ 1,4 стога сена в день.
Восемь остальных коров съедят один стог сена за 1 / 1,4 ≈ 0,71 дня.

Ответ: две первые коровы вместе быстрее съедят стог сена, чем остальные восемь.

Ресурсы:
http://remshagu.ru/Nashi_proekts/summer%20mathematical%20school/2012/МатбойКОГ10-11(2012).pdf

Две бригады

Задача.
Две бригады, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 часов. Первая бригада, работая одна, могла бы выполнить эту работу на 5 часов быстрее, чем вторая. Сколько часов потребовалось бы первой бригаде для выполнения этой работы?

Решение.
Пусть х - производительность первой бригады, у - второй. Примем за 1 объем работы. Тогда:
х + у = 1/6 ⇒ х = 1/6 - у (*); 
1/х - 1/у = 5.
Подставляя (*) во второе уравнение, получим:
1/(1/6 - у) - 1/у = 5
2у - 1/6 = 5у*(1/6 - у)

5y² + 2y - y*5/6 = 1/6

30y² + 12y - 5y = 1

30y² + 7y – 1 = 0

D = 49 – 4*(-1)*30 = 169

y = (-7 + 13)/60 = 0,1 - производительность первой бригады.

x = 1/6 – 0,1 = 1/15 - производительность второй бригады.

1/(1/15) = 15 (часов) - время, которое потребуется первой бригаде для выполнения работы.

Ответ: 15 часов.