Четырехугольник с равными и перпендикулярными противоположными сторонами

Задача.

В выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и перпендикулярны, а две другие равны а и b. Найдите его площадь.

Решение.

Расшифровка радиосигнала

📑 Ресурсы

Udacity Puzzles
Mathematical Puzzles

📑 Задание

Сигнал радиостанции состоит из 16 символов двоичного кода.
Шпион со специальным оборудованием изменил эту передачу.
Получилась последовательность $0100101101011000$.
Чтобы не вызвать подозрений, он заменил всего один символ в исходном сигнале радиостанции.
Сообщение, которое передал шпион - число из четырех символов в двоичной системе.
Получатель сигнала знает, что каждой из 16-ти позиций передачи соответствует
четырехзначное число в двоичной системе в порядке возрастания.
Для расшифровки переданного сообщения адресату достаточно сложить все числа,
соответствующие единицам в передаче радиостанции.
Что передал шпион?

📑 Решение.

Каждому символу в передаче поставим в соответствие 4-значное число в двоичной системе:

Выпишем и сложим все числа, соответствующие единицам в радиосигнале.
Известно, что должно получиться 4-хзначное число.
Если просто складывать все эти числа в двоичной системе,
то получиться сумма, соответствующее 50 в десятичной системе.
Такое число невозможно зашифровать с помощью 4 символов в двоичной системе.
Значит, нужно складывать векторы с 4-мя координатами
(четное количество единиц в столбце - в итоге 0, нечетное - 1)

📑 Ответ: 1010

Доказательство делимости

📑 Задание

Доказать, что указанное выражение
$n^5-5*n^3+4*n$
делится на 120 при любом натуральном n.

📑 Решение.

Легко видеть, что получилось произведение пяти последовательных целых чисел.
Среди них найдутся два последовательных четных числа,
одно из которых обязательно делится на 2, а другое - на 4.
Значит, все произведение делится на 8.
Кроме того, среди пяти последовательных чисел есть и такое, которое делится на 5 без остатка.
Т.е. все произведение делится на 5.
Рассуждая аналогично, получим, что среди них найдется и число, которое делится на 3.
Итак: 5*3*8 = 120. Данное выражение делится на 120 без остатка.

$$\large{\mathscr{n^{5} - 5 \, n^{3} + 4 \, n = {\left(n^{4} - 5 \, n^{2} + 4\right)} n = }}$$ $$\large{\mathscr{= {\left(n^{2} - 1\right)} {\left(n^{2} - 4\right)} n = {\left(n + 2\right)} {\left(n + 1\right)} {\left(n - 1\right)} {\left(n - 2\right)} n}}$$

Доказательство по индукции

Доказать делимость указанного выражения на 19.

Прыжки кенгуренка

Задача.
Кенгуренок прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на одну координатную единицу за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кенгуренок может оказаться, сделав ровно 25 прыжков, если он начинает прыгать из точки с координатой 0?

Решение.
Число прыжков - нечетное, значит кенгуренок может оказаться только в точке с нечетной координатой (положительной или отрицательной) в промежутке от -25 до 25.

25 прыжков влево: в точке -25;
24 прыжка влево и 1 вправо: в точке -23;
...
13 прыжков влево и 12 вправо: в точке -1;
12 прыжков влево и 13 вправо: в точке 1;
...
1 прыжок влево и 24 вправо: в точке 23;
25 прыжков вправо: в точке 25.

Нечетных чисел на отрезке [-25;25]  - 26 (13 положительных и 13 отрицательных).

Ответ: 26.

Ресурсы:
Вариант 4 Задача 20.
https://ege.yandex.ru/mathematics/

Треугольник Паскаля. Python

📑 Задание

Программа построения треугольника Паскаля с n строками в Python.

📑 Решение.

Система иррациональных уравнений, умножение уравнений

Задача.

Решение.

Ответ:

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/irrurs.pdf

Система иррациональных уравнений

Задача.

Решение.

Ответ: 5/16, -1/16.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/irrurs.pdf

Точка пересечения

Задача.

Решение.

Ответ:

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/horeq.pdf

Заказ

Задача.
Заказ на 380 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

Решение.
Пусть х деталей/час - производительность труда второго рабочего, (х + 1) деталей/час - первого. Тогда:
380/х - 380/(х+1) = 1

380х + 380 - 380х = х² + х

х² + х – 380 = 0

D = 1 – 4*(-380)

x = (-1 + 39)/2 = 19 (отрицательный корень не имеет смысла)

Ответ: 19 деталей.

Ресурсы:

http://www.fipi.ru

Компьютерные диски

Задача.
Фирма производит компьютерные диски. Вероятность того, что выбранный случайным образом диск этой фирмы окажется некачественным, равна 0,025. Глен приобрела два диска.
1) определите вероятность того, что оба диска являются некачественными;
2) определите вероятность того, что только один из дисков является некачественным;
3) в результате тестов среди партии дисков нашли 3 некачественных; сколько дисков, вероятнее всего, было протестировано?

Решение.
1) Вероятность того, что первый и второй диски являются некачественными одновременно, равна произведению вероятностей того, что каждый из них является некачественным:
0,025 * 0,025 = 0,000625.
2) Вероятность того, что любой выбранный случайным образом диск фирмы окажется качественным, равна 1 - 0,025 = 0,975.
Вероятность того, что только один из дисков является некачественным, равна сумме вероятностей двух событий ("первый качественный, второй некачественный" или "первый некачественный, второй качественный").
0,025 * 0,975 + 0,975 * 0,025 = 0,975 * 0,05 = 0,04875.
3) Количество дисков в партии, содержащей один некачественный диск, вероятнее всего, равно 1/0,025 = 40; значит, в партии с тремя некачественным дисками, может быть 40 * 3 = 120 дисков.

Ответ: 0,000625; 0,04875; 120.

Ресурсы (учебные материалы):
www.interhigh.co.uk

Три вопроса

Задача.
Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

Решение.
Вероятность того, что студент знает первый вопрос, равна 20/25.
Если студент знает ответ на первый вопрос, то осталось еще 19 вопросов из 24, на которые он знает ответ. Значит, вероятность того, что студент знает второй вопрос, равна 19/24.
Если студент знает ответ на первый и второй вопрос, то осталось 18 из 23 вопросов, на которые он знает ответ. Вероятность того, что студент знает третий вопрос, равна 18/23.
Вероятность того, что студент знает все три вопроса равна произведению этих вероятностей:
20/25 * 19/24 * 18/23 = 57/115.

Ответ: 57/115.

Ресурсы:
http://www.mathelp.spb.ru/book2/tv5.htm 

Две шахматные партии

Задача.
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. 

Решение.
Шахматист А. сыграет две партии - один раз белыми и один раз черными. Вероятность его выигрыша в обеих партиях будет равна произведению вероятностей выигрыша в каждой, поскольку это два независимых события:
0,32 * 0,5 = 0,16.

Ответ: 0,16.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/about

На сколько процентов дороже

Задача.
Семь одинаковых карандашей дешевле тетради на 9%. На сколько процентов девять таких же карандашей дороже тетради?

Решение.
Пусть х - цена карандаша, тогда семь карандашей будут стоить 7х, девять карандашей - 9х, а тетрадь - 7x / (1 - 0,09) = 7x/0,91 = x/0,13.
Сравним, на сколько процентов девять карандашей дороже тетради:
100% * (9х - x/0,13)/(x/0,13) = 100% * ((1,17 - 1)/0,13) * 0,13 = 100% * 0,17 = 17%

Ответ: на 17%.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

Система с иррациональным уравнением

Задача.

Решение.

Ответ: (2;1).

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/irrurs.pdf

Иррациональное уравнение (сумма корней)

Задача.

Решение.

Ответ: -16.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/irrurs.pdf

Сплавы никеля

Задача.
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.
Пусть х кг - масса первого сплава, (150 - x) кг - второго. Тогда масса никеля в этих двух сплавах равна 0,1х + 0,35 * (150 - x) = 52,5 - 0,25x кг; с другой стороны, масса никеля в третьем сплаве содержится такая же: 0,25 * 150 = 37,5 кг. Имеем:
52,5 - 0,25x = 37,5
х = (52,5 - 37,5)/0,25 = 60 (кг) - масса первого сплава.
150 - 60 = 90 (кг) - масса второго сплава.
90 - 60 = 30 (кг) - разность между массами двух сплавов.

Ответ: на 30 кг.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

Растворы разной концентрации

Задача.
Смешав 38-процентный и 52-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 38-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.
Пусть для изготовления 36-процентного раствора кислоты использовали х кг 38-процентного и у кг 52-процентного растворов, а также 10 кг чистой воды. О количестве вещества в этом растворе можно составить уравнение:
0,38х + 0,52у = 0,36 * (x + y + 10), т.е. 0,02х + 0,16у = 3,6 или х + 8у = 180 (1).
Для изготовления 46-процентного раствора кислоты использовали х кг 38-процентного и у кг 52-процентного растворов, а также 10 кг 50-процентного раствора. О количестве вещества в этом растворе можно составить уравнение:
0,38х + 0,52у + 0,5 * 10 = 0,46 * (x + y + 10), т.е. 0,08х - 0,06у = 0,4 или 4х - 3у = 20 (2).
3 * (1) + 8 * (2):
3 * (х + 8у) + 8 * (4х - 3у) = 3 * 180 + 8 * 20
35x = 700
x = 20 (кг).

Ответ: 20 кг.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

Логарифмическое неравенство

Задача.

Решение.

Ресурсы:

http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/2015/02.pdf

Растворы в одинаковом количестве

Задача.
Смешали некоторое количество 17-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 81-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.
Первый способ.
Примем за 1 количество вещества 17-процентного раствора, 1 будет равно и количество вещества 81-процентного раствора. Тогда количество чистого вещества в первом растворе будет равно 0,17, во втором - 0,81.
При смешивании количество чистого вещества будет равно 0,17 + 0,81 = 0,98; общее количество вещества: 1 + 1 = 2; концентрация получившегося раствора: 0,98/2 = 0,49 = 49%.
Второй способ.
Поскольку исходные компоненты смешиваются в одинаковых количествах, то концентрация получившегося раствора - это среднее арифметическое концентраций первого и второго растворов.
(17% + 81%)/2 = 49%.

Ответ: 49%.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Забор

Задача.
Игорь и Паша красят забор за 15 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 21 час, а Володя и Игорь — за 28 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Решение.
Пусть х - производительность труда Игоря в час, у - Паши и z - Володи. Примем всю работу (покрасить забор) за 1. Тогда получится система уравнений:
х + у = 1/15 (1)
у + z = 1/21 (2)
х + z = 1/28 (3).
(1) - (2) + (3):
х + у - у - z + х + z = 1/15 - 1/21 + 1/28 = 7/105 - 5/105 + 1 /28 = 2/105 + 1 /28 =
= 8/420 + 15/420 = 23/420, т.е. х = 23/840
Из (1): 23/840 + у = 1/15, т.е. у = 56/840 - 23/840 = 33/840.
Из (3): 23/840 + z = 1/28, т.е. z = 30/840 - 23/840 = 7 /840.
Определим время работы втроем, разделив работу на общую производительность труда х+у+z:
1/ (23/840 + 33/840 + 7 /840) = 1/(63/840) = 840/63 = 13 ⅓ (ч)

Ответ: за 13 часов 20 минут.

Ресурсы: 
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Длина поезда

Задача.
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 40 км/ч. Длина товарного поезда равна 1650 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 3 минутам.

Решение.

Пусть х км - длина пассажирского поезда.  Скорость, с которой пассажирский поезд обгоняет за 3 минуты = 1 /20 ч товарный поезд, равна 90 км/ч - 40 км/ч = 50 км/ч. Длина товарного поезда в км: 1650 м = 1,65 км. Составим уравнение:
1,65 + х = 50 * 1 /20
x = 2,5 - 1,65
x = 0,85 км = 850 м

Ответ: 850 м.

Ресурсы:
http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

Значение логарифмических выражений

Задача.

Решение.

Ответ:

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/logcalc.pdf

Сравнение логарифмических выражений

Задача.

Решение.

Ответ:

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/logcalc.pdf

Значения чисел a и b

Задача.

Ниже на пяти языках записан алгоритм, который получает на вход число x и печатает два числа a и b. Укажите наибольшее из таких чисел x, при вводе которых алгоритм сначала печатает 3, а потом 5.

Решение.

1) Сначала а = 0, а после выполнения алгоритма а = 3, значит цикл в алгоритме должен быть выполнен 3 раза (а увеличивается на 1 каждый раз), при этом значения b = 1  должно измениться и стать b = 5.

Изменение b происходит в результате умножения предыдущего значения b на множитель (х mod 10). Следовательно, b = 5 можно достичь несколькими способами:

1 * 1 * 1 * 5 = 5

1 * 1 * 5 * 1 = 5

1 * 5 * 1 * 1 = 5

2) Рассмотрим выполнение алгоритма для х = 115, 151, 511.

х	x mod 10	1-й цикл	x mod 10	2-й цикл	x mod 10	3-й цикл
115	5	а = 1 b = 1 * 5 = 5 x = 115 div 10 = 11	1	а = 2 b = 5 * 1 = 5 x = 11 div 10 = 1	1	а = 3 b = 5 * 1 = 5 x = 1 div 10 = 0
151	1	а = 1 b = 1 * 1 = 1 x = 151 div 10 = 15	5	а = 2 b = 1 * 5 = 5 x = 15 div 10 = 1	1	а = 3 b = 5 * 1 = 5 x = 1 div 10 = 0
511	1	а = 1 b = 1 * 1 = 1 x = 511 div 10 = 51	1	а = 2 b = 1 * 1 = 1 x = 51 div 10 = 5	5	а = 3 b = 1 * 5 = 5 x = 5 div 10 = 0

При х = 0 выполнение цикла прекращается.

Наибольшим среди 115, 151, 511 является 511.

Ответ: 511.

Ресурсы:

https://ege.yandex.ru/informatics/1/result/8063323/