Каких чисел больше (6-7 класс)

Задание.
Даны числа от 1 до 2015. Каких чисел среди них больше: тех, что делятся на 6 и не делятся на 7, или тех, что делятся на 7 и не делятся на 6?
Решение.
1-й способ.
2015:6=335 (ост. 5) - чисел, делящихся на 6 ([1;2015]).
2015:7=287 (ост. 6) - чисел, делящихся на 7 ([1;2015]).
2015:42=47 (ост. 41) - чисел, делящихся на 6  и на 7 ([1;2015]).
335-47= 288  - чисел, делящихся на 6 и не делящихся на 7 ([1;2015]).
287-47= 240  - чисел, делящихся на 7 и не делящихся на 6 ([1;2015]).
2-й способ.
2015:6=335 (ост. 5) - чисел, делящихся на 6 ([1;2015]).
2015:7=287 (ост. 6) - чисел, делящихся на 7 ([1;2015]).
Пусть а - количество чисел, делящихся на 6 и на 7.
335>287
335-a>287-a
Ответ: чисел, делящихся на 6 и не делящихся на 7, больше, чем чисел, делящихся на 7 и не делящихся на 6.

Нагревание и охлаждение газа (6-7 класс)

Задание.
При нагревании газ увеличился в объеме на 20%. На какую часть своего объема уменьшится этот газ при охлаждении до первоначальной температуры?
Решение.
Примем за единицу первоначальный объем газа. 20% = 1/5. Тогда объем газа после нагревания станет 1+1/5=6/5. При охлаждении до прежней температуры объем газа уменьшится на ту же 1/5 часть от первоначального объема.
1/5 / (6/5) = 1/6
Ответ: при охлаждении газ уменьшится в объеме на 1/6.

N прямых (7-9 класс)

Задание.
N прямых делят плоскость на части. Какое наибольшее количество частей может получиться?
Решение.
Пусть n - количество прямых на плоскости, а x(n) - наибольшее количество частей при разбиении плоскости n прямыми.
Рассмотрим n=1, 2, 3, 4, 5, 6.

x(1) = 2 = 1+1 

x(2) = 4 = 1+1+2

х(3) = 7 = 1+1+2+3

х(4) = 11 = 1+1+2+3+4

х(5) = 16 = 1+1+2+3+4+5

х(6) = 22 = 1+1+2+3+4+5+6

Значит,

x(N) = 1+1+2+3+...+N

1, 2, 3, ..., N - арифметическая прогрессия, сумма N первых членов будет равна N(N+1)/2.

Т.е. x(N) = 1+N(N+1)/2

Ответ: 1+N(N+1)/2.