Доказательство делимости

📑 Задание

Доказать, что указанное выражение
$n^5-5\ast n^3+4\ast n$
делится на 120 при любом натуральном n.

📑 Решение.

Легко видеть, что получилось произведение пяти последовательных целых чисел.
Среди них найдутся два последовательных четных числа,
одно из которых обязательно делится на 2, а другое - на 4.
Значит, все произведение делится на 8.
Кроме того, среди пяти последовательных чисел есть и такое, которое делится на 5 без остатка.
Т.е. все произведение делится на 5.
Рассуждая аналогично, получим, что среди них найдется и число, которое делится на 3.
Итак: 5*3*8 = 120. Данное выражение делится на 120 без остатка.

xxxxxxxxxx

 

1

var('n'); string='$\\huge{\\mathbb{%s}}$'; string_expr=''

2

expr=[n^5-5*n^3+4*n,n*(n^4-5*n^2+4),n*(n^2-4)*(n^2-1)]

3

for i in range(3):

4

    string_expr+=string%latex(expr[i])+' = '

5

display(html(string_expr+string%latex(factor(expr[0]))))

6

sum([expr[0](n=i).n()%120 for i in range(2000)])

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

$${\mathcal{n}}^{\mathcal{5}}\mathcal{-}\mathcal{5}{\mathcal{n}}^{\mathcal{3}}\mathcal{+}\mathcal{4}\mathcal{n}\mathcal{=}({\mathcal{n}}^{\mathcal{4}}\mathcal{-}\mathcal{5}{\mathcal{n}}^{\mathcal{2}}\mathcal{+}\mathcal{4})\mathcal{n}\mathcal{=}$$ $$\mathcal{=}({\mathcal{n}}^{\mathcal{2}}\mathcal{-}\mathcal{1})({\mathcal{n}}^{\mathcal{2}}\mathcal{-}\mathcal{4})\mathcal{n}\mathcal{=}(\mathcal{n}\mathcal{+}\mathcal{2})(\mathcal{n}\mathcal{+}\mathcal{1})(\mathcal{n}\mathcal{-}\mathcal{1})(\mathcal{n}\mathcal{-}\mathcal{2})\mathcal{n}$$