Уравнения и логарифмическая функция

 

Система уравнений с показательными и степенными функциями

 

Уравнение с двумя неизвестными в целых числах

 

Ровно три решения

 

Разложение на множители

 

Неравенства с модулем

 

Неравенства и области определения функций

 

Неравенства и модуль

 

Показательная функция и уравнения

Замена переменных

 

Система уравнений и модуль числа

 

📑 Уравнение 4-й степени.

📑 Задание

Привести пример универсального решения уравнения 4-й степени.

📑 Решение.

Идея: использовать схемы решений уравнения 2-й и 3-й степени.

xxxxxxxxxx

 

1

parameters=[]

2

@interact(layout=dict(top=[['A','B','C','D','E']]))

3

def get_params(A=slider([-200,-199,..,200],default=3),

4

               B=slider([-200,-199,..,200],default=15),

5

               C=slider([-200,-199,..,200],default=-39),

6

               D=slider([-200,-199,..,200],default=-159),

7

               E=slider([-200,-199,..,200],default=180)):

8

    var('a b c d e h g x y'); global parameters

9

    eq0=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

10

    pretty_print('старт =>')

11

    pretty_print(eq0(a=A,b=B,c=C,d=D,e=E)==0)

12

    eq1=(eq0/a).expand()

13

    pretty_print('деление на коэффициент A =>')

14

    pretty_print(eq1(a=A,b=B,c=C,d=D,e=E)==0)

15

    eq2=(eq1(x=y-b/(4*a))).collect(y)

16

    eq02=eq2(a=A,b=B,c=C,d=D,e=E)

17

    pretty_print('замена переменной x=y-B/(4*A) =>')

18

    pretty_print(eq02==0)

19

    [p,q,r]=[-1*eq02.coefficient(y,n) for n in [2,1,0]]

20

    pretty_print('вычисление [p,q,r] =>',[p,q,r])

21

    eq40=y^4+2*h*y^2+h^2

22

    eq41=(p+2*h)*y^2+q*y+h^2+r

23

    pretty_print('использование вспомогательной переменной h =>')

24

    pretty_print(eq40==eq41)

25

    pretty_print('разложение на множители =>')

26

    pretty_print(eq40.factor()==eq41)

27

    eq5=(q^2-4*(2*h+p)*(r+h^2)).collect(h)

28

    pretty_print('D для правой стороны = 0 =>')

29

    pretty_print(eq5==0)

30

    eq5=eq5/eq5.coefficients(h,3)[3]

31

    pretty_print('или => ',eq5==0)

32

    eq6=eq5(h=(g-p/2)/3).expand().collect(g)

33

    pretty_print('замена переменной h=(g-p/2)/3 =>')

34

    pretty_print(eq6==0)

35

    eq6=eq6/eq6.coefficients(g,3)[3]

36

    pretty_print('или => ',eq6==0)

37

    [m,n]=[eq6.coefficient(g,n) for n in [1,0]]

38

    pretty_print('вычисление [m,n] => ',[m,n])

39

    k=(m/3)^3+(n/2)^2

40

    k1=(-n/2+sqrt(k))**(1/3)

41

    k2=(-n/2-sqrt(k))**(1/3)

42

    g1=-(k1+k2)/2+I*sqrt(3)*(k1-k2)/2

43

    g2=-(k1+k2)/2-I*sqrt(3)*(k1-k2)/2

44

    g3=k1+k2

45

    pretty_print('использование формулы Кардано =>')

46

    pretty_print('g in ',[g1.n(),g2.n(),g3.n()])

47

    pretty_print(solve(eq6,g))

48

    parameters=[A,B,C,D,E,m,n,p,q,r]+\

49

    [solve(eq6,g)[i].rhs() for i in range(3)]

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

[A0,B0,C0,D0,E0,m0,n0,p0,q0,r0,g01,g02,g03]=parameters

2

@interact(layout=dict(top=[['A','B','C','D','E','G']]))

3

def get_params(A=slider([-200,-199,..,200],default=A0),

4

               B=slider([-200,-199,..,200],default=B0),

5

               C=slider([-200,-199,..,200],default=C0),

6

               D=slider([-200,-199,..,200],default=D0),

7

               E=slider([-200,-199,..,200],default=E0),

8

               G=selector([g01,g02,g03],default=g02)):

9

    var('a b c d e h g x y'); global parameters

10

    global A0,B0,C0,D0,E0,m0,n0,p0,q0,r0,g01,g02,g03

11

    H=(G-p0/2)/3

12

    pretty_print('g = ',G,' => h = ',H)

13

    eq40=y^4+2*h*y^2+h^2

14

    eq41=(p0+2*h)*y^2+q0*y+h^2+r0

15

    pretty_print(eq40(h=H).factor()==eq41(h=H).factor())

16

    eq42=sqrt(eq40(h=H).factor())==sqrt(eq41(h=H).factor())

17

    eq43=sqrt(eq40(h=H).factor())==-sqrt(eq41(h=H).factor())

18

    eq42=eq42.canonicalize_radical()

19

    eq43=eq43.canonicalize_radical()

20

    pretty_print(eq42,' или ',eq43)

21

    eq42=sqrt(eq40(h=H).factor())-sqrt(eq41(h=H).factor())

22

    eq43=sqrt(eq40(h=H).factor())+sqrt(eq41(h=H).factor())

23

    eq4=eq42.canonicalize_radical()*eq43.canonicalize_radical()

24

    pretty_print(eq4,'='); pretty_print('=',eq4.expand())

25

    eq32=(eq42(y=x+B0/(4*A0))).canonicalize_radical()

26

    eq33=(eq43(y=x+B0/(4*A0))).canonicalize_radical()

27

    eq3=eq4(y=x+B0/(4*A0))

28

    pretty_print(eq3,'='); pretty_print('=',eq3.expand())

29

    pretty_print(eq32==eq32.factor())

30

    pretty_print(eq33==eq33.factor())

31

    pretty_print(eq32.factor()*eq33.factor()==eq3.expand())

32

    plot(eq3,(x,-6,4),gridlines=True,figsize=(6,3),

33

         legend_label=eq3.expand(),frame=True).show()

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

Решение неравенства

Логарифмическое неравенство

📑 Множители

📑 Задание

Разложить на множители.

$x^8+1$

📑 Решение.

Идея: использовать вспомогательные переменные.

xxxxxxxxxx

 

1

var('x'); eq0=x^8+1

2

eq3=x^2+sqrt(2-sqrt(2))*x+1; eq4=x^2-sqrt(2-sqrt(2))*x+1

3

eq5=x^2+sqrt(2+sqrt(2))*x+1; eq6=x^2-sqrt(2+sqrt(2))*x+1

4

pretty_print('за секунды: \n\n\n',(eq3*eq4*eq5*eq6).expand(),

5

             '=',expand(eq3*eq4)*expand(eq5*eq6),'=')

6

pretty_print('=',eq3*eq4,eq5*eq6)

7

R.<x>=RR[]

8

eq1=x^4+sqrt(2).n()*x^2+1; eq2=x^4-sqrt(2).n()*x^2+1

9

pretty_print('with approximation: ')

10

for eq in [eq1,eq2]:

11

    pretty_print(eq,'='); pretty_print('=',factor(eq))

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

var('a b c x'); eq0=x^8+1

2

eq1=x^4+a*x^2+1; eq2=x^4-a*x^2+1

3

pretty_print('шаг за шагом: ')

4

pretty_print(eq0==eq1*eq2)

5

pretty_print(eq0==(eq1*eq2).collect(x))

6

eq_coef=(eq0-eq1*eq2).collect(x).coefficient(x,4)==0

7

pretty_print(eq_coef)

8

sol_a=solve(eq_coef,a); pretty_print(sol_a)

9

sol_a=sol_a[1]; pretty_print(sol_a)

10

pretty_print(eq0==eq1(a=sol_a.rhs())*eq2(a=sol_a.rhs()))

11

eq3=x^2+b*x+1; eq4=x^2-b*x+1

12

pretty_print(eq1(a=sol_a.rhs())==eq3*eq4)

13

eq_coef1=(eq1(a=sol_a.rhs())-eq3*eq4).collect(x).coefficient(x,2)==0

14

pretty_print(eq_coef1)

15

sol_b=solve(eq_coef1,b); pretty_print(sol_b)

16

sol_b=sol_b[1]; pretty_print(sol_b)

17

eq5=x^2+c*x+1; eq6=x^2-c*x+1

18

pretty_print(eq2(a=sol_a.rhs())==eq5*eq6)

19

eq_coef2=(eq2(a=sol_a.rhs())-eq5*eq6).collect(x).coefficient(x,2)==0

20

pretty_print(eq_coef2)

21

sol_c=solve(eq_coef2,c); pretty_print(sol_c)

22

sol_c=sol_c[1]; pretty_print(sol_c)

23

pretty_print(eq0==eq3(b=sol_b.rhs())*eq4(b=sol_b.rhs())*\

24

             eq5(c=sol_c.rhs())*eq6(c=sol_c.rhs()))

25

pretty_print(eq0==(eq3(b=sol_b.rhs())*eq4(b=sol_b.rhs())*\

26

             eq5(c=sol_c.rhs())*eq6(c=sol_c.rhs())).expand())

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

📑 Геометрический смысл системы уравнений

📑 Задание

Найти
$x\ast y+y\ast z\ast z\ast x$,
если
$x^2+x\ast y+y^2=a^2$
$y^2+y\ast z+z^2=b^2$
$z^2+z\ast x+x^2=c^2$

📑 Решение.

Идея: использовать вспомогательные переменные.

xxxxxxxxxx

 

1

var('a b c p x y z')

2

eq1=x^2+x*y+y^2==a^2

3

eq2=y^2+y*z+z^2==b^2

4

eq3=z^2+z*x+x^2==c^2

5

eq4=x*y+y*z+z*x

6

pretty_print([eq1,eq2,eq3])

7

pretty_print(eq4,' = ? ')

8

p1=plot(0,(x,0,4),color='red',

9

        legend_label='$x$',thickness=3)

10

p2=plot(-2*x,(x,-2,0),color='green',

11

        legend_label='$y$',thickness=3)

12

p3=plot(2*x,(x,-3,0),color='blue',

13

        legend_label='$z$',thickness=3,gridlines=True)

14

p4=line([[4,0],[-2,4]],color='darkorange',

15

        legend_label='$a$',thickness=3)

16

p5=line([[-2,4],[-3,-6]],color='darkcyan',

17

        legend_label='$b$',thickness=3)

18

p6=line([[-3,-6],[4,0]],color='darkmagenta',

19

        legend_label='$c$',thickness=3)

20

(p1+p2+p3+p4+p5+p6).show(xmin=-6,xmax=6,ymin=-6,ymax=6,

21

                         aspect_ratio=1,legend_font_size=20)

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

latex_exp=['$x^2-2*cos(\\frac{2\\pi}{3})*x*y+y^2=a^2$',

2

           '$y^2-2*cos(\\frac{2\\pi}{3})*y*z+z^2=b^2$',

3

           '$z^2-2*cos(\\frac{2\\pi}{3})*z*x+x^2=c^2$',

4

           '$S_{\\triangle xya}=\\frac{x*y}{2}'+\

5

           '*sin(\\frac{2\\pi}{3}); \\;'+\

6

           'S_{\\triangle yzb}=\\frac{y*z}{2}'+\

7

           '*sin(\\frac{2\\pi}{3}); \\;'+\

8

           'S_{\\triangle zxc}=\\frac{z*x}{2}'+\

9

           '*sin(\\frac{2\\pi}{3})$',

10

           '$S_{\\triangle abc}=S_{\\triangle xya}+'+\

11

           'S_{\\triangle yzb}+S_{\\triangle zxc}$',

12

           '$S_{\\triangle abc}=\\frac{\\sqrt{3}}{4}'+\

13

           '*(x*y+y*z+z*x)$',

14

           '$S_{\\triangle abc}=\\sqrt{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)},'+\

15

           '\\; p=\\frac{a+b+c}{2}$',

16

           '$x*y+y*z+z*x=4*\\sqrt{\\frac{p*(p-a)*(p-b)*(p-c)}'+\

17

           '{3}},\\; p=\\frac{a+b+c}{2}$']

18

for el in latex_exp:

19

    pretty_print(html(el))

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

pretty_print('быстрая проверка:')

2

exp1=4*sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)/3)

3

pretty_print(exp1)

4

exp2=exp1(p=(a+b+c)/2)^2

5

pretty_print(exp2)

6

exp3=exp2(a=sqrt(x^2+x*y+y^2),

7

          b=sqrt(y^2+y*z+z^2),

8

          c=sqrt(z^2+z*x+x^2))

9

pretty_print(exp3.expand().factor())

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

📑 Замена переменной

📑 Задание

Решить уравнение

$x^8-7\ast x^6+12\ast x^4-7\ast x^2+1=0$

📑 Решение.

Идея: использовать вспомогательные переменные.

xxxxxxxxxx

 

1

var('x y')

2

eq=x^8-7*x^6+12*x^4-7*x^2+1

3

pretty_print(eq==0)

4

pretty_print('за секунды: \n\n\n',solve(eq,x))

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

eq1=eq/x^4

2

pretty_print('шаг за шагом: \n\n\n',eq==0)

3

pretty_print([eq1==0,x!=0])

4

pretty_print([eq1.expand()==0,x!=0],'(*)')

5

eq11=x^4+1/x^4

6

eq12=x^2+1/x^2

7

pretty_print(eq11,' - 7 * (',eq12,') + 12 = 0')

8

eq13=x^4+1/x^4==y^2-2

9

eq14=x^2+1/x^2==y

10

pretty_print([eq14,eq13],'(**)')

11

eq2=y^2-2-7*y+12==0

12

pretty_print('(*),(**) =>  ',eq2)

13

pretty_print(solve(eq2,y))

14

pretty_print(eq12==solve(eq2,y)[0].rhs(),' or  ',

15

             eq12==solve(eq2,y)[1].rhs())

16

sol11=solve(eq12==solve(eq2,y)[0].rhs(),x)

17

sol12=solve(eq12==solve(eq2,y)[1].rhs(),x)

18

pretty_print(sol11,sol12)

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

📑 Формула Кардано

📑 Задание

Решить уравнение

$x^3-x-\frac{2}{\sqrt{3}}=0$

📑 Решение.

Идея: использовать формулу Кардано или просто разложить на множители.

xxxxxxxxxx

 

1

var('p q x')

2

eq0=x^3+p*x+q

3

pretty_print(eq0(p=-1,q=-2/(3*sqrt(3)))==0)

4

sol0=solve(eq0(p=-1,q=-2/(3*sqrt(3))),x)

5

pretty_print('за секунды: \n\n\n',[factor(sol0[0]),sol0[1]])

6

k=p^3/27+q^2/4

7

a=(-q/2+sqrt(k))**(1/3)

8

b=(-q/2-sqrt(k))**(1/3)

9

sol1=-(a+b)/2+I*sqrt(3)*(a-b)/2

10

sol2=-(a+b)/2-I*sqrt(3)*(a-b)/2

11

sol3=a+b

12

pretty_print(

13

    'Формула Кардано: \n\n\n',

14

    [sol(p=-1,q=-2/(3*sqrt(3))).canonicalize_radical() 

15

     for sol in [sol1,sol2,sol3]])

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

eq11=x^3-x-2/(3*sqrt(3))

2

pretty_print('шаг за шагом: \n\n\n',eq11==0)

3

pretty_print(factor(eq11+2/(3*sqrt(3)))==2/(3*sqrt(3)))

4

eq12=(x+1/sqrt(3)); eq13=x^2; eq14=-sqrt(3)*x/3; eq15=-2/3

5

pretty_print(expand(eq12*eq13),' ',

6

             factor(eq11-eq12*eq13),' = ',0)

7

pretty_print(eq13,' (',eq12,') ',

8

             factor(eq11-eq12*eq13),' = ',0)

9

pretty_print(eq13,' (',eq12,') ',

10

             expand(eq12*eq14),' ',

11

             factor(eq11-eq12*eq13-eq12*eq14),

12

             ' = ',0)

13

pretty_print(eq13,' (',eq12,') ',eq14,

14

             ' (',eq12,') ',

15

             factor(eq11-eq12*eq13-eq12*eq14),

16

             ' = ',0)

17

pretty_print(eq13,' (',eq12,') ',eq14,

18

             ' (',eq12,') ',

19

             eq15,' (',eq12,') = ',0)

20

eq16=eq13+eq14+eq15; eq17=x-2/sqrt(3)

21

pretty_print('(',eq16,') (',eq12,') = ',0)

22

pretty_print('(',eq17,') (',eq12,') (',

23

             eq12,') = ',0)

24

pretty_print([factor(sol0[0]),sol0[1]])

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

📑 Слагаемые

📑 Задание

Представить указанное выражение

$\frac{24}{x^5-5\ast x^3+4\ast x}$

в виде суммы дробей.

📑 Решение.

Разложим на множители знаменатель и используем вспомогательные переменные A,B,C,D,E.

xxxxxxxxxx

 

1

var('A B C D E x')

2

eq0=24/(x^5-5*x^3+4*x)

3

pretty_print('за секунды: \n\n\n',eq0,'=',

4

             eq0.partial_fraction(x))

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages

xxxxxxxxxx

 

1

eq1=factor(eq0)

2

pretty_print('шаг за шагом: \n\n\n',eq0==eq1,'(*)')

3

eq2=A/(x+2)+B/(x+1)+C/x+D/(x-1)+E/(x-2)

4

pretty_print(eq1==eq2,'(**)')

5

eq3=simplify(eq2.factor()/eq1).collect(x)

6

pretty_print('(**) / (*) =>')

7

pretty_print(eq3==eq0.factor()/eq1)

8

eq=[eq3.coefficient(x,0)==1]+\

9

   [eq3.coefficient(x,s)==0 for s in [1..4]]

10

for i in [0..4]: 

11

    pretty_print(eq[i],' => ',' x^%d'%i)

12

pretty_print(solve(eq,A,B,C,D,E))

13

solution=solve(eq,A,B,C,D,E)[0]

14

[a,b,c,d,e]=[solution[i].rhs() 

15

             for i in range(len(solution))]

16

eq4=eq2.subs(A=a,B=b,C=c,D=d,E=e)                    

17

pretty_print(factor(eq4)==eq4)

Language: Sage Gap GP HTML Macaulay2 Maxima Octave Python R Singular

---

Messages