Паркет (5-6 класс)

Задание.

Набор «Юный паркетчик» состоит из 12 плиток определенной формы (рис. 1), плотно уложенных в один слой в коробку размером 6×6 клеток. Хулиган Вася сломал одну плитку, и ее заменили плиткой другой формы (рис. 2). Удастся ли теперь все детали уложить в эту же коробку?

Решение.

Каждая горизонтальная полоска состоит из трех клеток. Присвоим каждой клетке квадрата 6х6 числа 0,1 или 2 по порядку (остатки от деления целых чисел на 3).

При любой укладке горизонтальной полоски сумма чисел в ней получается 0, 3 или 6 и делится на три (рис.1). Значит, и при укладке 11 таких плиток сумма чисел во всех клетках этих плиток также будет делиться на три.

Если угловую плитку из трех клеток можно уложить вместе с 11-тью горизонтальными плитками, то сумма чисел внутри нее также должна делиться на три.

Но на рис.2 видно, что при любой укладке угловой плитки сумма чисел внутри нее не делится на три. Сумма получается 1, 2, 4 или 5. Значит, одну угловую плитку вместе с одиннадцатью горизонтальными уложить в коробку 6х6 нельзя.

Ответ: нельзя уложить.