Задача.
(«Ломоносов», 2008) Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку, прежде чем та юркнула в норку?
Решение.
Пусть х м - расстояние от мышки до норки в первый момент, в это время расстояние от кошки до мышки - 3х м, а от кошки до норки - 4х м. В следующий момент расстояние от мышки до норки - 4 м, от кошки до мышки - 11 м, а от кошки до норки - 15 м.
Заметим, что по условию задачи х > 4 (*).
За время t между первым и вторым моментами кошка преодолела (4х - 15) м, а мышка - (х - 4) м. Скорость кошки равна (4х - 15) / t, скорость мышки: (х - 4) / t. Эти скорости постоянны, а значит постоянно и их соотношение: (4х - 15) / t / ((х - 4) / t) = (4х - 15) / (х - 4). Кошка догонит мышку, если кошка преодолеет оставшиеся 15 м быстрее, чем мышка 4 м, т.е. если
(4х - 15) / (х - 4) ≥ 15/4 (**)
Умножим обе части неравенства на х - 4, х - 4 > 0 согласно (*):
16х - 60 ≥ 15х - 60
х ≥ 0
Значит, (**) выполняется и для любого расстояния х > 4.
Ответ: успел догнать.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf
(«Ломоносов», 2008) Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку, прежде чем та юркнула в норку?
Решение.
Пусть х м - расстояние от мышки до норки в первый момент, в это время расстояние от кошки до мышки - 3х м, а от кошки до норки - 4х м. В следующий момент расстояние от мышки до норки - 4 м, от кошки до мышки - 11 м, а от кошки до норки - 15 м.
Заметим, что по условию задачи х > 4 (*).
За время t между первым и вторым моментами кошка преодолела (4х - 15) м, а мышка - (х - 4) м. Скорость кошки равна (4х - 15) / t, скорость мышки: (х - 4) / t. Эти скорости постоянны, а значит постоянно и их соотношение: (4х - 15) / t / ((х - 4) / t) = (4х - 15) / (х - 4). Кошка догонит мышку, если кошка преодолеет оставшиеся 15 м быстрее, чем мышка 4 м, т.е. если
(4х - 15) / (х - 4) ≥ 15/4 (**)
Умножим обе части неравенства на х - 4, х - 4 > 0 согласно (*):
16х - 60 ≥ 15х - 60
х ≥ 0
Значит, (**) выполняется и для любого расстояния х > 4.
Ответ: успел догнать.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf
Комментариев нет:
Отправить комментарий