Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задача.
Сумма трех положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Найдите эти числа, если известно, что при увеличении первого и второго чисел на 1, а третьего числа - на 4 мы получим геометрическую прогрессию.

Решение.

Обозначим а₁, а₂, а₃ > 0 - числа, образующие арифметическую прогрессию; d - разность прогрессии.

а₁ + а₂ + а₃ = а₁ + а₁ + d + а₁ + 2d = 3 (a₁ + d) = 15 ⇒ 

a₁ + d = 5 = a₂  и  a₁ + a₃ = 10 ⇒

а₃ = 10 - а₁ (*)

По условию:

(а₁ + 1) / (а₂ + 1) = (а₂ + 1) / (а₃ + 4)

(а₁ + 1) / 6 = 6 / (а₃ + 4) ⇒ с учетом (*) (а₁ + 1) / 6 = 6 / (14 - а₁) ⇒ 

(а₁ + 1)(14 - а₁) = 36

-а₁² + 14 а₁ + 14 – а₁ = 36

-а₁² + 13 а₁ - 22 = 0

а₁² - 13 а₁ + 22 = 0

D = 169 – 4*22 = 81

a₁ = (13 + 9)/ 2 = 11 (не подходит по условию (*) и а₃ > 0) 

или a₁ = (13 - 9)/ 2 = 2 ⇒ a₃ = 10 – 2 = 8

Ответ: 2, 5, 8.