Студенты

Задача.
Бодрый студент на лекции записывал по 90 слов в минуту. Сонный студент сначала был совсем сонный и за первую минуту лекции записал только одно слово. Потом он начал понемногу просыпаться и за вторую минуту лекции записал уже три слова, за третью — пять, за четвёртую — семь, и так далее.
а) Сколько времени длилась лекция, если в итоге оба студента записали слов поровну?
б) Сколько слов записал на лекции каждый студент?

Решение.
Пусть х минут длилась лекция, тогда количество слов, записанных бодрым студентом, равно 90*x.
Число слов, записанных сонным студентом возрастает в арифметической прогрессии с каждой минутой: первый член прогрессии равен 1, разность равна 2 (3-1=5-3=2), общее количество членов прогрессий совпадает с продолжительностью лекции в минутах и равно х. Сумма первых х членов этой прогрессии равна количеству слов, записанных сонным студентом.
Применяя формулу суммы :

 , 

где  — первый член прогрессии,  — разность прогрессии,  — количество суммируемых членов;

получим (2*1 + 2*(х-1))/2 * x =(1+x-1)*x= x² .
По условию, оба студента записали одинаковое количество слов:
90*x=x²
x=90 минут длилась лекция.
90*90=8100 слов записал каждый студент.

Ответ: а) 90 минут;  б) 8100 слов.

Ресурсы:
http://mmmf.msu.ru/archive/20142015/z8/