Производство меда (5-6 класс)

Задание.
Пчёлы, перерабатывая цветочный нектар в мёд, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит около 70% воды, а полученный из него мёд содержит только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчёлам для получения 1 кг мёда?
Решение.

1кг = 1000 г

1)    1000 *0,17 = 170 (г) — воды в 1 кг меда.

2)    1000  - 170  = 830 (г) — «сухого вещества» 1 кг меда.

3)    1000*0,7 = 700 (г) - воды в 1 кг нектара.

4)    1000 — 700 = 300 (г) — «сухого вещества» в 1 кг нектара.

5)    1*830 : 300 = 2  23/30 ≈ 2,77 (кг) — нектара для 1 кг меда.

Ответ: 2  23/30 ≈ 2,77 кг нектара надо взять.

Перевернутые стаканы (7-8 класс)

Задание.
На столе стоят 17 перевернутых стаканов. Разрешается переворачивать одновременно любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Решение.
1-й способ.

Исследуем, как изменяется количество неправильно стоящих (перевернутых) стаканов при каждом переворачивании двух стаканов:

1) оба переворачиваемых стакана являются правильно стоящими

После переворачивания количество неправильно стоящих стаканов увеличивается на 2 (т.е. на четное число).

2) оба переворачиваемых стакана являются неправильно стоящими

После переворачивания количество неправильно стоящих стаканов уменьшается на 2 (т.е. на четное число)

3) из переворачиваемых стаканов один - правильно стоящий, один – неправильно стоящий.

При переворачивании число неправильно стоящих стаканов не изменяется (т.е. изменение равно 0).

Значит, при любой процедуре переворачивания количество неправильно стоящих стаканов изменяется на четное число или не изменяется совсем.

Известно, что сумма любых четных чисел является четным числом. Значит, и при любом количестве операций по переворачиванию, общее количество неправильно стоящих стаканов изменится на четное число или не изменится совсем.

По условию задачи, количество неправильно стоящих стаканов – 17 (т.е. нечетное). Известно, что сумма четного и нечетного числа всегда является нечетным числом. Т.е. после любого количества операций по переворачиванию, количество неправильно стоящих стаканов останется нечетным. А значит, указанным способом добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно, нельзя.

2-й способ.
Стакан, который стоит нормально, обозначим числом +1, а перевернутый стакан обозначим числом –1. Начальному положению соответствует произведение 17-ти чисел -1. Оно равно -1. Рассмотрим при любом изменении положения любых двух стаканов произведение чисел, соответствующих всем семнадцати стаканам: 
1) при переворачивании  2-х нормально стоящих стаканов получим два перевернутых, что соответствует изменению произведения соответствующих этим 2-м стаканам чисел 1*1=1 на (-1)*(-1)=1 и не изменяет произведение 17-ти чисел в целом;
2) при переворачивании  2-х стоящих вверх дном стаканов получим два нормально стоящих, что соответствует изменению произведения (-1)*(-1)=1 на 1*1=1 и не изменяет произведение 17-ти чисел в целом;
3) при переворачивании  2-х стаканов в разном положении получим по-прежнему два стакана в разном положении, что соответствует изменению произведения 1*(-1)= -1 на (-1)*1= -1 и не изменяет произведение 17-ти чисел в целом.
Так как в начальном положении это число равно –1, то стать равным +1 (число, соответствующее семнадцати нормально стоящим стаканам) оно никак не может. 
Ответ: нельзя добиться.

Черепаха и крокодил (5-6 класс)

Задание.

Черепаха, которой 165 лет, спросила крокодила: «Сколько тебе лет?». Крокодил ответил: «Мне сейчас в 4 раз больше, чем было тебе тогда, когда мне было столько, сколько тебе сейчас».
Сколько лет крокодилу? 
Решение.

Пусть х лет – возраст черепахи в прошлом.

Тогда:

Название животного	Возраст
	В прошлом	Сейчас
черепаха	х	165
крокодил	165	4х

Прошло одинаковое количество лет для обоих, значит:

165-х=4х-165

5х=330

х=66 (года) – было черепахе в прошлом.

4х=4*66=264(года) – крокодилу сейчас.

Ответ: 264 года.

Правдивые показания (5-6 класс)

Задание.

Дэн, Сид, Алекс и Джек подозреваются в преступлении. Они дали следующие показания: 
Дэн: «Сид совершил преступление».
Сид: «Джек совершил преступление».
Алекс: «Я не совершал преступления».
Джек: «Сид лжет».
Только один сказал правду. Кто совершил преступление?
Решение.

Используем доказательство от противного.

1) Предположим, что Дэн сказал правду. В этой ситуации получается, что преступление совершил Сид. А значит, слова Сида – ложь, слова Алекса и Джека – правда. Но такое положение, в котором правы 3 человека, противоречит условию задачи («один человек сказал правду»). Значит, наше предположение о Дэне неверно, и он лжет.

2) Предположим, что Сид сказал правду, и тогда преступление совершил Джек. В этой ситуации слова Дэна и Джека – ложь, но слова Алекса – правда. Получается, что два человека сказали правду – Сид и Алекс. Это опять противоречит условию задачи. Значит, наше предположение о Сиде неверно, и он тоже солгал.

3) Мы доказали, что слова Сида являются ложью, а значит, слова Джека и являются правдой. По условию, прав только он один, т.е. лгут все остальные: Дэн, Сид и Алекс.

4) Слова Алекса являются ложью, а значит, истиной будет отрицание его высказывания «Я не совершал преступление», т.е. Алекс и является преступником.

Ответ: Алекс совершил преступление.

Домашнее хозяйство (5-6 класс)

Задание.
У одной хозяйки 3 курицы за 3 дня несут 6 яиц, а 2 коровы за 3 дня дают 60 л молока. В мае она купила ещё 9 кур, которые неслись так же, и корову, которая давала столько же молока. В июне хозяйка и её семья 30% яиц съели, десяток в общей сложности (по неосторожности) разбили, а остальные продали (десяток яиц – 40 руб.). Что касается молока, то семья за месяц потребляет 10%, из 20% делает масло (100 г масла получается из литра молока), из 30% – творог (из литра молока получается 200 г творога), причём 2/3 масла и 3/5 творога хозяйка также продаёт, впрочем, как и остальное молоко. Килограмм творога стоит 160 руб., килограмм масла – 220 руб., литр молока – 30 руб. Каков доход хозяйки за июнь?
Решение.

1) 6/3= 2 (яйца) – снесет 1 курица за 3 дня.

2) 2*(3+9) = 24 (яйца) – снесут все курицы хозяйки в июне за каждые 3 дня.

3) 30/3 = 10 (раз) – больше количество дней в июне, чем 3.

4) 24*10=240 (яиц) – снесут все куры за июнь.

5) 240*0,3=72 (яйца) – съели в семье.

6) 240-72-10=158 (яиц) – осталось для продажи.

7) 158/10=15,8 (шт.) – количество десятков яиц для продажи.

8) 15,8*40= 632 (руб.) – выручка от продажи яиц (если можно продавать все яйца, а не только отдельными десятками).

9) 60/2=30 (л) – дает 1 корова за три дня.

10) 30*(2+1)=90 (л) – дают все коровы хозяйки в июне за каждые 3 дня.

11) 90*10 = 900 (л) – дают все коровы за июнь.

12) 900*(1-0,1-0,2-0,3)= 360 (л) – молока для продажи.

13) 360*30=10800 (руб.) – выручка от продажи молока.

14) 900*0,2*100/1000=18 (кг) – масла делает хозяйка в июне.

15)18*2/3 = 12 (кг) – масла на продажу.

16) 12*220= 2640 (руб.) – выручка в июне от продажи масла.

17) 900*0,3*200/1000= 54 (кг) – творога сделает хозяйка в июне.

18) 54*3/5=32,4 (кг) – творога для продажи.

19)32,4*160=5184 (руб) – выручка в июне от продажи творога.

20) 632+10800+2640+5184=19256 (руб.) – выручка хозяйки в июне.

Ответ: 19256 рублей дохода получит хозяйка за июнь.

Точный квадрат (5-6 класс)

Задание.
Является ли число, десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трех троек ... девяти девяток точным квадратом?
Решение.

Известно несколько свойств точного квадрата.

1) Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.

2) Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то а² = 4к² – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то а² = (2к+1) ² = 4 к² + 4к + 1 =

= 4к(к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1(одно из чисел к или к+1 окажется четным, т.е. делится на 2).

3) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда а² = (3к)² = 9к² - делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда а² = (3к±1) ²=

= 9 к² ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.

Проверим, удовлетворяет ли число из условия задачи указанным свойствам.

Свойство №1.

Число из условия задачи оканчивается цифрой 9, значит оно обладает свойством №1.

Свойство №2.

1) Проверим делимость на 4. Две последние цифры данного числа – 99, значит оно не делится на 4.

2) Проверим делимость на 8. Если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число, кратное 8, то и само число делится на 8. В нашем случае должен получится остаток 1, а значит без остатка должно делится число, на 1 меньшее данного в условии задачи.

999–1=998

Проверим делимость числа 998 на 8.

998:8=124 (ост 6) - не кратно 8.

Значит, число из условия задачи не делится на 8 с остатком 1.

Свойство №3.

1) Проверим делимость на девять числа 122….999999999.

1+ 2*2+ 3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9= 1+4+9+16+25+36+49+64+81=

=285  - не делится на 9 нацело.

2) Но 285 : 3 = 95, значит и число 122….999999999 делится на 3 без остатка.

Вывод: Число 122….999999999 не является точным квадратом, потому что не обладает свойствам №2 и №3 точного квадрата.

Ответ: число 122….999999999 не является точным квадратом.