Задание.
Является ли число, десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трех троек ... девяти девяток точным квадратом?
Решение.
Является ли число, десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трех троек ... девяти девяток точным квадратом?
Решение.
Известно несколько свойств точного
квадрата.
1) Точный квадрат целого
числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством
нулей.
2) Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8
даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то а2 = 4к2 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то а2 = (2к+1) 2 = 4 к2 + 4к + 1 =
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то а2 = 4к2 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то а2 = (2к+1) 2 = 4 к2 + 4к + 1 =
= 4к(к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1(одно из чисел к
или к+1 окажется четным, т.е. делится на 2).
3) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3
даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда а2 = (3к)2 = 9к2 - делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда а2 = (3к±1) 2=
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда а2 = (3к)2 = 9к2 - делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда а2 = (3к±1) 2=
= 9 к2 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3
даёт остаток 1.
Проверим, удовлетворяет ли число из условия задачи указанным свойствам.
Свойство №1.
Число из условия задачи оканчивается цифрой 9, значит оно обладает свойством №1.
Свойство №2.
1) Проверим делимость на 4. Две последние цифры данного числа – 99, значит оно не делится на 4.
2) Проверим делимость на 8. Если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число,
кратное 8, то и само число делится на 8. В нашем случае должен получится остаток 1, а значит без остатка должно делится число, на 1 меньшее данного в условии задачи.
999–1=998
Проверим делимость числа 998 на 8.
998:8=124 (ост 6) - не кратно 8.
Значит, число из условия задачи не делится на 8 с остатком 1.
Значит, число из условия задачи не делится на 8 с остатком 1.
Свойство №3.
1) Проверим делимость на
девять числа 122….999999999.
1+ 2*2+
3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9= 1+4+9+16+25+36+49+64+81=
=285 - не делится на 9 нацело.
2) Но 285 : 3 = 95, значит и
число 122….999999999 делится на 3 без остатка.
Вывод: Число 122….999999999
не является точным квадратом, потому что не обладает свойствам №2 и №3 точного
квадрата.
Ответ: число
122….999999999 не является точным квадратом.
Уважаемая Ольга, почему Вы решили, что число обязано оканчиваться цифрой 9? В условии задачи не оговаривается порядок цифр, указывается только из каких цифр состоит число и в каком количестве. Здесь решение следующее: Сумма цифр числа равна 285, а значит, число делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, такое число не может быть квадратом, да и вообще не может быть никакой точной степенью выше первой.
ОтветитьУдалить