Куб и квадрат

Задача.

(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11 ) Вася возвёл какое-то целое число в куб и умножил результат на два. Петя возвёл другое целое число в квадрат и умножил результат на три. Оказалось, что ответы совпали. Какое число взял каждый из ребят, если эти числа отличаются не более чем на 100 (перечислите все возможные варианты)?

Решение.

Ответ: (6;12), (6;-12), (24;96).
Ресурсы:

http://mathus.ru/math/pz.pdf

Две сотни

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11) Найдите сумму общих членов прогрессий 12, 15, 18, ...и 1, 3, 9, ..., если в каждой из них 100 членов.

Решение.

Ответ: 351.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/posled.pdf

Уменьшенная прогрессия

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2013, 10–11) Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 63, а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на 8, но не менее, чем на 7. Определите, какой может быть разность этой прогрессии.

Решение.

Ответ: 2 ; 21/8.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/posled.pdf

2013-й

Задача.
Первый член последовательности равен 934. Каждый следующий равен сумме цифр предыдущего, умноженной на 13. Найдите 2013-й член последовательности.

Решение.

Ответ: 130.

Прогрессия

Задача.
(ОММО, 2015, 9–11) Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической про- грессии составляет 50% от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как 5 : 4. Найдите количество членов этой прогрессии.

Решение.

Ответ: 22.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/posled.pdf

В контейнере

Задача.

В контейнере находятся изделия нескольких типов из пяти возможных: весом 1 кг, 2 кг, 3 кг, 5 кг и 10 кг. Суммарный вес изделий в контейнере равен 100 кг. Известно, что если выбрать из контейнера по одному изделию каждого из имеющихся в нём типов, то их суммарный вес будет равен 15 кг. Количество самых тяжёлых из находящихся в контейнере изделий на 5 больше, чем количество всех остальных изделий в нём. Определите, какие типы изделий и в каком количестве находятся в контейнере.

Решение.
Набор по одному изделию каждого вида общим весом 15 кг можно составить из этих предметов  только двумя способами:
1) 10 кг и 5 кг;
2) 10 кг, 2 кг и 3 кг.
Рассмотрим оба случая.
1) Пусть х - количество изделий массой 5 кг, по условию самых тяжелых изделий (массой 10 кг) - на 5 штук больше, т.е. х + 5. Получим:
5х + 10 * (х + 5) = 100
15 x = 50 - не имеет целочисленных решений.
Значит, в контейнере имеются изделия массой 10 кг, 2 кг и 3 кг.
2) Пусть х - количество изделий массой 2 кг, у - количество изделий массой 3 кг,  х + у + 5 - количество изделий массой 10 кг. Получим:
(х + у + 5) * 10  + 2x + 3y = 100
12x +13y = 50
13y = 50 - 12x (разность двух четных чисел).
Значит, у может быть только четным и натуральным.
При у = 2  имеем: 26 = 50 - 12х х = 2 (изделий по 2 кг) и х + у + 5 = 9 (изделий по 10 кг).
При у = 4, 6, 8 и т.д. получается 13у  > 50, т.е. решение у = 2 - единственное.

Ответ: 2 изделия по 2 кг, 2 изделия по 3 кг, 9 изделий по 10 кг.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/pz.pdf

Количество учеников в школе

Задача.

В школе учится не менее 150 мальчиков, а девочек — на 15% больше, чем мальчиков. Когда мальчики поехали на сборы, потребовалось 6 автобусов, причём в каждом автобусе ехало одинаковое количество школьников. Сколько всего человек учится в школе, если известно, что общее число учащихся не больше 400?

Решение.
Пусть х - количество мальчиков школе, тогда 1,15х - количество девочек.
По условию:
х ≥ 150
х + 1,15х ≤ 400  ⇒ х≤ 400/2,15 ≈ 186.
Получим: 150 ≤ х≤ 186
Поскольку х и  1,15х = 23/20 х - целые числа, то х должно быть кратно 20, а по условию оно еще и кратно 6.
НОК (6,20) = 60
Единственное число ∈ [150;186], кратное 60, равно 180.
Значит, х = 180, 1,15х = 207 и х + 1,15х = 387.

Ответ: 387 человек.