Расследование

Задача.
Расследуется дело о хищении. В этом преступлении подозреваются Брагин, Кургин и Лиходеев. Каждый из них дал следующие показания.
Брагин: «Я не делал этого. Это сделал Лиходеев».
Лиходеев: «Я не виноват, но и Кургин тут ни при чём».
Кургин: «Лиходеев не виновен. Преступление совершил Брагин».
Следствием точно установлено, что хищение совершили двое, кроме того, подозреваемые путались в показаниях и каждый из них не дал полностью правдивых показаний. Кто же совершил преступление? Решите задачу, заполнив и проанализировав таблицу истинности.

Решение.
Первый способ.

Б	Л	К	Показания Б		Показания Л		Показания К
			Не Б	Л	Не Л	Не К	Не Л	Б
0	1	1	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	1	0	1	0	1
1	0	1	0	0	1	0	1	1

Второй способ.
Известно, что в показаниях обоих преступников одно утверждение истинно, а второе ложно.
Об утверждениях невиновного человека в условии задачи нет информации, говорил ли он правду или лгал.
1) Допустим, что преступление совершено Кургиным и Лиходеевым.
Тогда оба утверждения Кургина («Лиходеев не виновен. Преступление совершил Брагин») ложны ( В рассматриваемом случае истинны утверждения: "Лиходеев виновен. Брагин преступления не совершал"). Но, по условию, если Кургин преступник, то одно его утверждение должно быть ложно, а второе - истинно. Мы пришли к противоречию. Значит, наше предположение о виновности Кургина и Лиходеева неверно.
2) Допустим, что преступление совершено Брагиным и Лиходеевым.
Тогда в показаниях Брагин есть одно истинное утверждение («Это сделал Лиходеев») и одно ложное («Я не делал этого»).  В показаниях Лиходеева также есть истинное утверждение («но и Кургин тут ни при чём») и ложное («Я не виноват»). Противоречий с условием задачи нет.
3) Допустим, что преступление совершено Кургиным и Брагиным.
Тогда оба утверждения Брагина («Я не делал этого. Это сделал Лиходеев») ложны ( В рассматриваемом случае истинны утверждения: "Лиходеев не виновен. Брагин преступление совершил"). Но, по условию, если Брагин преступник, то одно его утверждение должно быть ложно, а второе - истинно. Мы пришли к противоречию. Значит, наше предположение о виновности Кургина и Брагина неверно.

Ответ: Брагин и Лиходеев.

Ресурсы:
http://logo-rai.ru/index.php/sootvetstvie?start=5

Кошки-мышки

Задача.
(«Ломоносов», 2008) Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку, прежде чем та юркнула в норку?

Решение.
Пусть х м - расстояние  от мышки до норки в первый момент, в это время расстояние от кошки до мышки - 3х м, а от кошки до норки - 4х м. В следующий момент  расстояние от мышки до норки - 4 м, от кошки до мышки - 11 м, а от кошки до норки - 15 м.

Заметим, что по условию задачи х > 4 (*).
За время t между первым и вторым моментами кошка преодолела (4х - 15) м, а мышка - (х - 4) м. Скорость  кошки равна (4х - 15) / t, скорость мышки: (х - 4) / t. Эти скорости постоянны, а значит постоянно и их соотношение: (4х - 15) / t / ((х - 4) / t) = (4х - 15) / (х - 4). Кошка догонит мышку, если кошка преодолеет оставшиеся 15 м быстрее, чем мышка 4 м, т.е. если
(4х - 15) / (х - 4) ≥ 15/4 (**)
Умножим обе части неравенства на х - 4, х - 4 > 0 согласно (*):
16х - 60 ≥ 15х - 60
х ≥ 0
Значит,  (**) выполняется и для любого расстояния х > 4.

Ответ: успел догнать.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Общее дело

Задача.
(«Ломоносов», 2010) Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил ещё 1 млн р., в результате чего его доля в общем деле увеличилась на 0,05, а когда он добавил ещё 1 млн р., его доля увеличилась ещё на 0,04. Сколько денег ему нужно добавить ещё, чтобы увеличить свою долю ещё на 0,06?

Решение.

Ответ: 2 млн рублей.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Мука в стаканах

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2010, 10–11 ) У Маши есть два разных стакана цилиндрической формы. Она заметила, что пакет муки можно так высыпать в эти стаканы, что уровень муки в первом стакане составит 12 см, а во втором — 10 см, или так, что уровень муки в первом стакане составит 9 см, а во втором — 12 см. На каком уровне окажется мука в каждом из этих стаканов, если муку из пакета высыпать в стаканы поровну?

Решение.

Ответ: 13,5 и 9 см.

Ресурсы:

http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

Липы на поляне

Задача.
(Всеросс., 2014, II этап, 11) Серёжа и Миша, гуляя по парку, набрели на поляну, окружённую липами. Серёжа пошел вокруг поляны, считая деревья. Миша сделал то же самое, но начал с другого дерева (хотя пошел в ту же сторону). Дерево, которое у Серёжи было 20-м, у Миши было 7-м, а дерево, которое у Серёжи было 7-м, у Миши было 94-м. Сколько деревьев росло вокруг поляны?

Решение.

Номера у одних и тех же деревьев при подсчете разные, но Миша и Сережа двигаются по поляне в одну сторону, поэтому разность между номерами одних и тех же деревьев сохраняется. 

Дерево, которое у Серёжи было 20-м, у Миши было 7-м; значит дерево, которое у Серёжи было 14-м (20 - 6 = 14), у Миши было 1-м (7 - 6 = 1). И, следовательно, дерево, которое было последним у Миши, у Сережи было 13-м по счету.

Дерево, которое у Серёжи было 7-м, у Миши было 94. Значит, дерево, которое у Серёжи было 13-м (13 - 7 = 6), у Миши будет 100-м и последним (100 - 94 = 6).

Ответ: 100 деревьев.

В гору и с горы (2)

Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2012, 10–11) На путь в гору по маршруту А турист затратил 2 часа, а на путь с горы по маршруту Б, который на 18 км длиннее маршрута А, — 4 часа. Найдите общую длину пути, пройденного туристом, если каждый километр при спуске турист проходил на 10 минут быстрее, чем при подъёме.

Решение.
Пусть х км - длина маршрута А, (х + 18) км - длина Б.
Пусть t часов - время, за которое турист проезжает 1 км по маршруту А.
По условию: х*t = 2 часа. Отсюда t = 2/x (*).
По маршруту Б каждый километр турист проезжает на 10 минут быстрее, т.е. за время t - 1/6.
Значит, (х + 18) км он проедет за (х + 18) * (t - 1/6) часов.
По условию: (х + 18) * (t - 1/6) = 4 часа.
Подставляя (*) в это уравнение, имеем:
(х + 18) * (2/х - 1/6) = 4
(х + 18) * (12 - х) /6х = 4
(х + 18) * (12 - х) = 24х

х² + 30х - 216 = 0

D = 900 - 4 *(-216) = 1756
x = (-30 + 42)/2 = 6 (км) (отрицательный корень уравнения не имеет смысла)
Общая длина пути (маршруты А + Б):  6 + 6 + 18 = 30 км

Ответ: 30 км.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf

По лестнице

Задача.
(Всеросс., 2015, I этап, 10) Петя сбегает с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем мама едет на лифте. Мама едет на лифте с четвёртого этажа на первый на 2 секунды быстрее, чем Петя сбегает с пятого этажа на первый. За сколько секунд Петя сбегает с четвёртого этажа на первый? (Длины пролётов лестницы между всеми этажами одинаковы.)

Решение.
Пусть х секунд - время, за которое Петя преодолевает 1 пролет лестницы между этажами, тогда за 3х секунд он преодолеет пролеты между 4-м и 1-м этажами, за 4х - между 5-м и 1-м.
Пусть у секунд - время, за которое лифт преодолевает 1 пролет между этажами, тогда за 3у секунд лифт преодолеет пролеты между 4-м и 1-м этажами.
По условию:
3у - 3х = 2
4х - 3у = 2
Сложим два уравнения:
3у - 3х + 4у - 3у = 2 + 2
х = 4 (секунды)
3х = 12 (секунд)

Ответ: за 12 секунд.

Ресурсы:
http://mathus.ru/math/tekstozad.pdf