Две высоты в треугольнике (7-9 класс)

Задание.
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.
Решение.

Пусть a, b и c - стороны треугольника, а h_a, h_b и h_c - высоты, опущенные на a, b и c соответственно. По условию h_a ≥ a, h_b ≥ b (*). 
С другой стороны,   перпендикуляр, опущенный из данной точки на прямую, является наименьшим расстоянием от этой точки до указанной прямой. Значит, h_a ≤ b, h_b ≤ a (**).
Объединим (*) и (**): а ≤ h_a ≤ b, b ≤ h_b ≤ a. 
Эти соотношения верны только в одном случае:  а = h_a = b = h_b.
Следовательно, a и b являются высотами друг для друга, и треугольник со сторонами a, b, c - прямоугольный. Кроме того, а = b, значит этот треугольник является еще и равнобедренным, и углы при его основании равны.
Как известно, углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны 90⁰, 45⁰ и 45⁰.
Ответ: 90⁰, 45⁰ и 45⁰.



Ресурсы:
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=32098
Задача № 32098 из коллекции МЦНМО