Задание.
Сколькими нулями оканчивается число 2015! = 1·2·3·…·2013·2014·2015?
Решение.
Разложим число 2015! на простые множители.
Количество нулей на конце этого числа будет равно степени, в которой
в это разложение входит 5. Конечно же, количество нулей в любом произведении
зависит от того, сколько раз в нем встретится 10 = 2·5, но 2 в
1·2·3·…·2013·2014·2015 встречается гораздо чаще, чем 5.
Поэтому на каждую пятерку в разложении найдется 2.
2015 = 5·403. Поэтому среди чисел от 1 до 2015 ровно 403 числа делятся на 5.
2015 = 25·80+15, 2015 = 125·16+15, 2015=625·3+140.
Значит из этих чисел ещё 80 делятся на 25, то есть на
52 ,
ещё 16 делятся на 125, то есть на
53 , и ещё 3 числа делятся
на 625, то есть на
54 .
Итого 403+80+16+3 = 502, то есть в разложение числа 2015!
пятёрка входит в степени 502. Поэтому 2015!
оканчивается 502 нулями.
Комментариев нет:
Отправить комментарий