Равные остатки (5-6 класс)

Задание.
Найдите нечетное натуральное число, меньшее 10 000, которое при делении на 3, 7, 8, 9, 11, 13 дает равные остатки. 
Решение.

При делении на число 3 могут получиться только остатки 0, 1, 2. Значит, нужно рассматривать только эти варианты.

Если остаток равен 0, то число должно быть четным, т.к. при делении нечетного числа на 8 невозможно получить 0 в остатке.(числа, которые можно представить как у= 8х всегда делятся на 2). Но четное число не подходит по условию задачи. Значит, остаток не может быть 0. Если остаток равен 2, то получается такое же противоречие. Числа вида у=8х+2 всегда делятся на 2. Значит, равный остаток может быть равен только 1.

Рассмотрим делители 3,7,8,9,11,13. Числа, которые при делении на 9 дают остаток 1, будут иметь тот же остаток и при делении на 3 (у=9х+1= 3*3х+1). Значит, нужно искать число, делящееся на 7,8,9,11,13 с остатком 1.

Числа  7,8,9,11,13 являются взаимно простыми, у них нет общих делителей, не равных 1. А значит все числа, делящиеся на них с остатком 1, будут иметь вид: у=7*8*9*11*13*х+1, где х больше или равно 0.

Пусть х=0, тогда у=1. Действительно 1:3=0(ост.1), 1:7=0(ост.1), 1:8=0(ост.1), и т.д.

Пусть х=1, тогда у=72073. Но это число не подходит по условию задачи, т.к. оно больше 10 000. Значит, и х=2,3,… можно не рассматривать.

Ответ: 1.

Числа-близнецы, дружественные и совершенные числа (5-6 класс)

Задание.
Если из четвертого совершенного числа вычесть дружественные числа, то получится число, которое больше суммы чисел близнецов на 2200.

Найдите все числа, которые составили это равенство.
Решение.

1) Четвертое совершенное число – это 8128. Пусть х и у – дружественные числа. Числа близнецы имеют вид 6*n±1, а значит их сумма имеет вид 6*n+1+6*n -1=12*n.

2) Составим уравнение по условию задания:

8128-х-у=12*n+2200

х+у=5928+12*n

n=494-1/12(x+y)

3) Т.е. нужно найти дружественные числа, сумма которых делится на 12.

А. 220+284=504 (504/12=42)

При х=220 и у=284 будет n=494-1/12(220+284)=494-42=452

Числа – близнецы при этом 6*452+1=2713 и 6*452-1=2711.

Б. 1184+1210=2394 ( не делится на 12 нацело).

В. 2620+2924=5544 (5544/12=462)

При х=2620 и у=2924 будет n=494-1/12(2620+2924)=494-462=32

Числа – близнецы при этом 6*32+1=193 и 6*452-1=191.

Остальные пары дружественных чисел в сумме превышают число 8128.

Ответ: 1) 8128- (220+284)= 2711+2713+2200; 2) 8128- (2620+2924)= 191+193+2200.

Четыре части (5-6 класс)

Задание.
Число 90 разделили на 4 части так, что если к первой части прибавить 4, а от второй отнять 4, третью разделить на 2, а четвёртую умножить на 2, то получатся равные результаты. Найди эти числа. 
Решение.
1-й способ.

Пусть х, у, z, k – части числа 90, т.е. х+ у+z+k=90

По условию верны равенства х+4=у-4= z/2=2*k.

Из них получаем у=х+8, z=4*k.

Подставим в первое уравнение

2х+8+4k+k=90

x=41-5/2k

Из равенства х+4=2*k получаем х=2*k-4. Подставим в предыдущее уравнение:

2*k-4=41-5/2k

9/2* k=45

k=10

Значит z=4*10=40, х=2*10-4=16, у=16+8=24.

Проверка: 16+24+40+10=90 и 16+4=24-4=40:2=10*2=20.

2-й способ.

a + 4 = x; b – 4 = x; c : 2 = x; d × 2 = x; a + b + c + d = 90 
d =x : 2, с=2x, b=x+4, a=x–4
x : 2 + 2 x +х+ 4 + x - 4= 90
x : 2 + 4x = 90
х + 8х = 180
9х = 180
х = 20
a = 20 – 4 = 16, b = 20 + 4 = 24, с = 20 × 2 = 40 , d = 20 : 2 = 10

Ответ: 16, 24, 40, 10 – части числа 90.

Разрезание квадрата (5-6 класс)

Задание.
Докажите, что изображенную на рисунке фигуру нельзя разрезать на прямоугольники, состоящие из трех клеток. 
Решение.

рис.1

1) В фигуре содержится 8х9-12=60 клеток, которые надо разрезать на 60:3=20 прямоугольников, состоящих из трех клеток.

2) Закрасим зеленым цветом клетки в фигуре как показано на рис.1.

3) Любой прямоугольник из трех клеток всегда содержит одну и только одну закрашенную клетку. Примеры расположения прямоугольников также показаны на рис.1.

4) Но закрашенных клеток на фигуре оказалось 21, а прямоугольников должно быть 20. Получилось противоречие. Значит, эту фигуру нельзя разрезать на прямоугольники, состоящие из трех клеток.

Ответ: нельзя разрезать.

Литература.

Екимова Марина Алексеевна, Кукин Георгий Петрович. Задачи на разрезание.

http://ilib.mccme.ru/pdf/kukin.pdf

Вермишель (7-8 класс)

Задание.
На коробке с вермишелью написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13%». Сколько весит вермишель, если она хранится при влажности 25%?
Решение.

1)    500*0,13 = 65 (г) — воды в пачке вермишели при влажности 13%.

2)    500-65 = 435 (г) - «сухой вермишели» без воды в этой пачке.

3)    100-25 = 75(%) - «сухой вермишели» в пачке при влажности 25%.

4)    435/0,75 = 580 (г) — масса пачки при влажности 25%.

Ответ: 580 г при влажности 25%.

Отец и сын (5-6 класс)

Задание.
Разница между возрастом отца и сына равна 25 годам и 6 месяцам. В настоящее время отец втрое старше сына. На сколько лет отец будет старше сына тогда, когда возраст первого будут вдвое больше второго?
Решение.
Задача-шутка и не требует вычислений. Разница в возрасте всегда постоянна, в данном случае - 25 лет и 6 месяцев.
Ответ: 25 лет и 6 месяцев.

Проценты (7-8 класс)

Задание.
На прилавке 80% продуктов содержат кальций. Среди содержащих кальций продуктов 50% содержат красители. Среди продуктов, не содержащих кальций, 75% содержат красители. На сколько процентов меньше на прилавке продуктов, не содержащих ни кальций, ни красители, чем содержащих и кальций, и красители?
Решение. 

Теперь вопрос задачи можно сформулировать таким образом: на сколько процентов 5% продуктов меньше, чем 40% продуктов? В подобных случаях большее число (40% продуктов) принимается  за 100%. Находим, сколько 5% составляют от 40%:
1) 5%*100%:40%= 12,5% 
А теперь выясним, насколько меньше: 
2) 100%-12,5%=87,5%
Ответ: на 87,5 %.