Равные остатки (5-6 класс)

Задание.
Найдите нечетное натуральное число, меньшее 10 000, которое при делении на 3, 7, 8, 9, 11, 13 дает равные остатки. 
Решение.

При делении на число 3 могут получиться только остатки 0, 1, 2. Значит, нужно рассматривать только эти варианты.

Если остаток равен 0, то число должно быть четным, т.к. при делении нечетного числа на 8 невозможно получить 0 в остатке.(числа, которые можно представить как у= 8х всегда делятся на 2). Но четное число не подходит по условию задачи. Значит, остаток не может быть 0. Если остаток равен 2, то получается такое же противоречие. Числа вида у=8х+2 всегда делятся на 2. Значит, равный остаток может быть равен только 1.

Рассмотрим делители 3,7,8,9,11,13. Числа, которые при делении на 9 дают остаток 1, будут иметь тот же остаток и при делении на 3 (у=9х+1= 3*3х+1). Значит, нужно искать число, делящееся на 7,8,9,11,13 с остатком 1.

Числа  7,8,9,11,13 являются взаимно простыми, у них нет общих делителей, не равных 1. А значит все числа, делящиеся на них с остатком 1, будут иметь вид: у=7*8*9*11*13*х+1, где х больше или равно 0.

Пусть х=0, тогда у=1. Действительно 1:3=0(ост.1), 1:7=0(ост.1), 1:8=0(ост.1), и т.д.

Пусть х=1, тогда у=72073. Но это число не подходит по условию задачи, т.к. оно больше 10 000. Значит, и х=2,3,… можно не рассматривать.

Ответ: 1.