Кислота (7-8 класс)

Задание. 
Из полного бака, содержащего 729 л чистой кислоты, отлили а литров и долили бак водой. После полного перемешивания (до получения однородного раствора) из бака опять отлили а литров раствора, снова долили бак водой и тщательно перемешали. После того, как операция была проведена шесть раз, жидкость в баке содержала 64 литра чистой кислоты. Определите величину а.
Решение.

1) После первой процедуры в баке останется 729-а литров кислоты и а литров воды. Содержание кислоты в 1л  получившегося раствора равно (729-а)/729.

2) Во время 2-ой процедуры количество вылитой чистой кислоты равно а*(729-а)/729 литров. Подсчитаем, сколько литров чистой кислоты на этом шаге останется в баке:

729-а- а*(729-а)/729= (729-а)²/729 . Содержание кислоты в 1 л раствора после 2-ого шага будет (729-а)²/729².

3) На третьем шаге, рассуждая также как на 2-ом, получим, что кислоты останется 

(729-а)³/729². Содержание кислоты в 1 л раствора после 2-ого шага будет (729-а)³/729³.

4) После выполнения 6-ти шагов кислоты останется  (729-а)⁶/729⁵ литров. По условию это – 64 литра. Значит можно составить уравнение:

(729-а)⁶/729⁵=64

(729-а)⁶/729⁵=2⁶

Учитывая, что 729⁵ =(3⁶)⁵=(3⁵)⁶=243⁶, получим:

(729-а)⁶/243⁶=2⁶

 Извлечем корень 6-й степени. Все числа по условию положительные, значит:

(729-а)/243=2

729-а=486

а=243 (литра)

Ответ: 243 литра каждый раз отливали.