Артель (5-6 класс)

Задание.

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы.

Сколько косцов было в артели?

1-й способ.

Пусть х – число работников (косцов), а у – производительность каждого работника (т.е. площадь участка, скашиваемого 1 работником за 1 день). Тогда объем работы на большом участке можно составить из двух слагаемых: х*1/2у (вся артель первую половину дня) и 1/2х*1/2у (половина артели вторую половину дня), т.е. ху/2+ху/4=3/4ху.

Объем работы на втором участке в два раза меньше из-за размеров участка, т.е. 3/8ху. С другой стороны нам известно, что он состоит из двух слагаемых: работа половины артели полдня – 1/2х*1/2у и работа одного косца целый день – у. Значит, по условию объем работ на втором участке равен ху/4+у. Составим уравнение:

3/8ху=1/4ху+у

Обе части уравнения поделим на у и умножим на 8:

3х=2х+8

х=8 (косцов)

2-й способ.

Известно, что большой луг косила 1 артель ½ дня и ½ артели ½ дня. Маленький луг в 2 раза меньше, значит, чтобы его скосить требуется сделать половину от работы на большом лугу, т.е. ½ артели ½ дня и ¼ артели ½ дня. Но по условию маленький луг косили ½ артели ½ дня и 1 работник целый день. Значит,  работа ¼ артели за ½ дня равна работе 1 косца за весь день.

Если 1 работник скашивает оставшуюся часть маленького луга за 1 день, то 2 работника сделают это за ½ дня. Т.е. 2 работника и составляют ¼ артели. И вся артель  - 8 косцов.

3-й способ.

Примем за 1 работу по скашиванию большого луга. Большой луг косила 1 артель ½ дня и ½ артели ½ дня, следовательно,  ½ артели ½ дня делает 1/3 часть работы на большом лугу.

По условию, работа, которую нужно выполнить на маленьком лугу, в два раза меньше, т.е. равна ½. В первый день на втором лугу работала ½ часть артели и было выполнена 1/3 часть работы. Значит, на следующий день 1 косцу нужно было доделать ½-1/3=1/6 часть работы. Вся артель выполнила за первый день 1+1/3=4/3 работы. Чтобы получить количество работников, поделим эту величину на производительность 1 человека: 4/3 : 1/6 = 4/3*6= 8.

Ответ: 8 работников было в артели.

Литература.

http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st026.shtml

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Москва: Издательство 'Наука'. Главная редакция физико-математической литературы, 1967.

А.В. Спивак. Тысяча и одна задача по математике. – М.: Просвещение, 2010.