Экзамены (7-8 класс)

Задача. Студент за 5 лет обучения сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем, а на пятом курсе сдал втрое больше экзаменов, чем на первом курсе.

Сколько экзаменов он сдал на четвертом курсе?

Решение.

Пусть а – количество экзаменов во время 1-го года обучения, b – прибавилось экзаменов во время 2-го года обучения, c – прибавилось экзаменов во время 3-го года обучения по сравнению со 2-ым, d – прибавилось экзаменов во время 4-го года обучения по сравнению со 3-им. По условию a, b, c, d - натуральные числа (целые, >0).

Тогда

Год обучения	1-ый	2-й	3-й	4-й	5-й
Количество экзаменов	a	a+b	a+b+c	a+b+c+d	3a

Причем по условию:

a+b+c+d<3a, т.е. b+c+d<2a

a+a+b+a+b+c+a+b+c+d+3a=31

7a+3b+2c+d=31

1) При а=1 получается 3а-а=3-1=2, т.е. на 2 экзамена больше во время 5-го года обучения по сравнению с 1-ым, но это противоречит условию увеличения количества экзаменов каждый год (2-й, 3-й, 4-й и 5-й). Значит, а≠1.

2) При а=2 получается:

14+3b+2c+d=31→ 3b+2c+d=17 и b+c+d<4. 
Это возможно только при b=c=d=1→3b+2c+d=3+2+1=6

Эти два условия противоречат друг другу. Значит а≠2.

3) При а=3 получается:

21+3b+2c+d=31→ 3b+2c+d=10 и b+c+d<6

А) Если b=1, то 3+2с+d=10→ 2c+d=7.

Тогда с=1, d=5 или с=2, d=3. В этих случаях b+c+d≥6, что противоречит  условию b+c+d<6.

Если с=3, d=1, то

Год обучения	1-ый	2-й	3-й	4-й	5-й
Количество экзаменов	3	4	7	8	9

Б) Если b=2, то 6+2с+d=10→ 2c+d=4→c=1, d+2. Тогда

Год обучения	1-ый	2-й	3-й	4-й	5-й
Количество экзаменов	3	5	6	8	9

В) Если b=3, то 9+2с+d=10→ 2c+d=1, что противоречит условию задачи, что c, d - натуральные числа. Очевидно, что при b>3 решений тоже нет.

4) При а=4 получается

28+3b+2c+d=31→ 3b+2c+d=3, что противоречит условию задачи, что b, c, d - натуральные числа.

Очевидно, что при а>4 решений тоже нет.

Существуют два возможных варианта количества экзаменов, в обоих случаях студент сдал 8 экзаменов во время 4-ого года обучения.

Ответ: 8 экзаменов.