Задачка за задачкой: января 2016

воскресенье, 31 января 2016 г.

Сколько ног?

Задача.
Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице?

Решение.
Задача-шутка. Ноги только у мельника, у кошек - лапы.

Ответ: 2 ноги.

Ресурсы:
http://matematika.gym075.edusite.ru/zadachki/zadachi-shutki.html

Система уравнений

Задача.
Найдите решение системы уравнений.
x*y/(x + y) = 1 /2
y*z/(y + z) = 1 /10
x*z/(x + z) = 1 /6

Решение.

Ответ: -1; 1 /3; 1/7.

Сбор урожая

Задача.
Три работника фермы уберут урожай с поля, если будут трудиться вместе 6 часов. Они справятся с этой задачей и в случае, когда первый отработает на поле 4 часа, второй - 8, а третий - 10 часов. Сколько потребуется третьему работнику времени на уборку этого поля, если первый отработал на нем 5 часов, а второй - 7?

Решение.
Пусть х - производительность труда первого работника, у - второго, z - третьего; t - время, необходимое третьему работнику после 5-часовой работы первого и 7-часовой работы второго. Объем всей работы на данном поле примем за 1. По условию:
6х + 6у + 6z = 1
4x + 8y + 10z = 1 (*)
5x + 7y + tz = 1
Сложим первые два уравнения системы (*):
10х + 14у + 16z = 2
Поделим на 2 обе части уравнения:
5х + 7у + 8z = 1
Вычтем из этого уравнения третье уравнение системы (*):
8z - tz = 0
(8 - t) * z = 0
Согласно принятым обозначениям, z не равно 0.
8 - t = 0
t = 8 (часов)

Ответ: 8 часов.

Старинная задача. Охота

Задача.
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 мин по 500 сажен, а собака в 5 мин — 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца.

Решение.
Первый способ.
1) 500:2 = 250 (сажен/мин.) - скорость зайца.
2) 1300:5 = 260 (сажен/мин.) - скорость собаки.
3) 260-250=10 (сажен/мин.) - на столько скорость собаки больше скорости зайца.
4) 150:10 = 15 (мин.) - время, за которое собака нагонит зайца.

Второй способ.
Пусть х - время, за которое собака нагонит зайца, тогда 150/х (сажен/мин.) - скорость их сближения. С другой стороны, скорость сближения равна разности между скоростью собаки 1300/5 (сажен/мин.) и скоростью зайца 500/2 (сажен/мин.). Составим уравнение:
150/х = 1300/5-500/2
150/х = 10
х = 15 (мин.)

Ответ: за 15 минут.

Ресурсы:
http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=623

Старинная задача. Из Москвы в Тверь

Задача.

Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Решение.

Первый способ.

1) 39 - 26 = 13 (верст) - разница между скоростями первого и второго поезда.

После того, как первый поезд прибыл в Тверь, второй поезд двигался до этой станции еще 2 часа.

2) 26*2 = 52 (версты) - расстояние, которой прошел второй поезд после прибытия в Тверь первого поезда.

Разделим расстояние, на которое первый поезд обогнал второй, на разницу между скоростями этих поездов.

3) 52:13 = 4 (часа) - время в пути для первого поезда.

4) 39*4 = 156 (верст) - расстояние от Москвы до Твери.

Второй способ.

Пусть х верст - расстояние от Москвы до Твери, тогда х/39 часов - время в пути для первого поезда, х/26 часов - для второго. По условию:

х/26 - х/39 = 2

3х-2х = 2*78

x = 156 (верст)

Ответ: 156 верст.

Ресурсы:

http://www.shevkin.ru/?action=Page&ID=623

Доказательство неравенства

Доказательства неравенств

суббота, 30 января 2016 г.

Решение уравнения методом замены переменной

52/х² – 144/(х +12)² = 1

Доказательство неравенства

Ресурсы:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_между_средним_арифметическим_и_средним_геометрическим

АЛЕКСАНДР ПУШКИН

Задача.
Сколько существует способов пройти таблицу и составить из букв в правильном порядке АЛЕКСАНДР ПУШКИН? Нельзя перемещаться по диагонали, следующий ход делается только в соседнюю клетку.

Решение.

К букве Н от буквы И путь И-Н можно пройти только 2-мя способами (зеленые стрелки) = 2¹; К-И-Н можно уже проделать 4-мя способами (розовые стрелки) = 2²; Ш-К-И-Н - существует 8 способов = 2³; и т.д. Всего нужно собрать по порядку 15 букв, между ними 14 переходов, значит способов будет 2¹⁴.

Ответ: 2¹⁴.

воскресенье, 31 января 2016 г.

суббота, 30 января 2016 г.

воскресенье, 31 января 2016 г.

суббота, 30 января 2016 г.