Решение системы уравнений с помощью вспомогательной переменной

Задачи.
Решить систему уравнений:

x²y² + xy = 72

x + y = 6

Решение.

Обозначим ху = р

р² + р = 72

р² + р – 72 = 0

D= 1 – 4*(-72) = 289

p₁= (-1+17)/2 = 8

p₂= (-1-17)/2 = -9

Получим две системы уравнений:

1) ху = 8

    x + y = 6

Из второго уравнения у = 6-х.

Подставим в первое уравнение:

x*(6-x) = 8

x²-6x+8=0

D= 36 – 4*8= 4

x₁ = (6+2)/2 = 4 y₁ = 2

x₂ = (6-2)/2 = 2  y₂ = 4

2) ) ху = -9

    x + y = 6

Из второго уравнения у = 6-х.

Подставим в первое уравнение:

x*(6-x) = -9

x²-6x-9=0

D= 36 – 4*(-9)= 72

x₃ = (6+6√2)/2 = 3+3√2 y₃ = 3 - 3√2

x₄ = (6-6√2)/2 = 3-3√2 y₄ = 3 + 3√2

Ответ: (2;4), (4;2), (3 - 3√2; 3 + 3√2), (3 + 3√2; 3 - 3√2).