Задача.
Три одинаковых игральных кубика приложены друг к другу одинаковыми гранями. При этом на верхних гранях «получилось» число 125 (см. рисунок). Сколько всего различных трехзначных чисел можно получить на верхних гранях, складывая кубики таким образом?
(A) 96 (Б) 126 (В) 168 (Г) 192 (Д) 216
Решение.
В каждом игральном кубике: 1 вверху соответствует 6 внизу, 4 соответствует 3, 2 - 5. Если кубики приложены одинаковыми гранями, то противоположные грани тоже имеют определенное значение ( например, если первый и второй кубики приложены друг к другу гранью с 4 точками, то на противоположной грани - 3 точки, а значит второй и третий приложены друг к другу именно гранями с 3 точками). Получается, что в данном случае каждый из трех кубиков имеет 4 "степени свободы".
Первый случай. Если первый и второй кубики приложены друг к другу гранью с 3 точками, а второй и третий - с 4-мя, то общее количество чисел, которые можно составить в этом положении из 1, 6, 2 и 5 равно 4*4*4 = 64 (размещение 4 чисел по 3-м местам с повторениями). Заметим, что первый и второй кубики приложены друг к другу гранью с 4 точками, а второй и третий - гранями с 3-мя точками, то числа на верхней грани можно составить только точно такие же.
Всего граней 6, они образуют 3 пары противоположных граней.
Второй случай. Если мы прикладываем кубики гранями 2 и 5, то числа составляются из 1, 3, 4, 6, при этом новые сочетания получаться только с участием чисел 3 и 4, а размещения чисел 1 и 6 по трем местам (8 вариантов) мы должны исключить, они были учтены в первом случае. Т.е. с приложенными гранями 2 и 5 получается еще 4*4*4 - 8 = 56 вариантов чисел.
Третий случай. Если мы прикладываем кубики гранями 1 и 6, то числа составляются из 2, 3, 4, 5, при этом исключаются числа с размещением 2 и 5 по трем местам (8 вариантов), т.к. они были учтены в первом случае, и числа с размещением 3 и 4 по трем местам (8 вариантов), т.к. они были учтены во втором случае. Т.е. с приложенными гранями 1 и 6 получается еще
4*4*4 - 8*2 = 48 вариантов чисел.
Всего получается 64 + 56 + 48 = 168 вариантов.
Ответ: 168 вариантов.
Ресурсы:
https://mathkang.ru/files/file/K-2015/kenguru_2015_class_9-10.pdf
P.S. Иллюстрация мне категорически не нравится, она только вводит учащихся в заблуждение. Такое впечатление, что тот, кто это рисовал, игральный кубик никогда не видел. :)
Три одинаковых игральных кубика приложены друг к другу одинаковыми гранями. При этом на верхних гранях «получилось» число 125 (см. рисунок). Сколько всего различных трехзначных чисел можно получить на верхних гранях, складывая кубики таким образом?
(A) 96 (Б) 126 (В) 168 (Г) 192 (Д) 216
В каждом игральном кубике: 1 вверху соответствует 6 внизу, 4 соответствует 3, 2 - 5. Если кубики приложены одинаковыми гранями, то противоположные грани тоже имеют определенное значение ( например, если первый и второй кубики приложены друг к другу гранью с 4 точками, то на противоположной грани - 3 точки, а значит второй и третий приложены друг к другу именно гранями с 3 точками). Получается, что в данном случае каждый из трех кубиков имеет 4 "степени свободы".
Первый случай. Если первый и второй кубики приложены друг к другу гранью с 3 точками, а второй и третий - с 4-мя, то общее количество чисел, которые можно составить в этом положении из 1, 6, 2 и 5 равно 4*4*4 = 64 (размещение 4 чисел по 3-м местам с повторениями). Заметим, что первый и второй кубики приложены друг к другу гранью с 4 точками, а второй и третий - гранями с 3-мя точками, то числа на верхней грани можно составить только точно такие же.
Всего граней 6, они образуют 3 пары противоположных граней.
Второй случай. Если мы прикладываем кубики гранями 2 и 5, то числа составляются из 1, 3, 4, 6, при этом новые сочетания получаться только с участием чисел 3 и 4, а размещения чисел 1 и 6 по трем местам (8 вариантов) мы должны исключить, они были учтены в первом случае. Т.е. с приложенными гранями 2 и 5 получается еще 4*4*4 - 8 = 56 вариантов чисел.
Третий случай. Если мы прикладываем кубики гранями 1 и 6, то числа составляются из 2, 3, 4, 5, при этом исключаются числа с размещением 2 и 5 по трем местам (8 вариантов), т.к. они были учтены в первом случае, и числа с размещением 3 и 4 по трем местам (8 вариантов), т.к. они были учтены во втором случае. Т.е. с приложенными гранями 1 и 6 получается еще
4*4*4 - 8*2 = 48 вариантов чисел.
Всего получается 64 + 56 + 48 = 168 вариантов.
Ответ: 168 вариантов.
Ресурсы:
https://mathkang.ru/files/file/K-2015/kenguru_2015_class_9-10.pdf
P.S. Иллюстрация мне категорически не нравится, она только вводит учащихся в заблуждение. Такое впечатление, что тот, кто это рисовал, игральный кубик никогда не видел. :)
Комментариев нет:
Отправить комментарий