Задача.
(«Покори Воробьёвы горы!», 2013, 10–11) В один прекрасный день Цветочный город был взбудоражен известием: кто-то выпил все запасы арбузного сока! В ходе разбирательства выяснилось, что виновен либо Пончик, либо Сиропчик (но не оба), но коротышки никак не могли решить, кто именно из двоих.
— Сок выпил Пончик, — заявила Кнопочка.
— А однажды он целую ракету украл, — поддержала её Звёздочка.
— Сиропчик никогда ничего не крал, — сказал Растеряйка.
— А ты, Растеряйка, каждый день теряешь вещи! — заявила Мушка.
— Звёздочка и Растеряйка говорят правду, — сказал Гунька.
— Звёздочка и Мушка говорят правду, — утверждал Торопыжка.
— Либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы, — высказал своё
мнение Авоська.
— Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду, — сказал Небоська.
— Звёздочка и Авоська говорят правду, — считал Пачкуля Пёстренький.
— Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт, — утверждал Незнайка.
— Я ничего не могу понять! — закричал Цветик. — Во всех этих словах нет никакого смысла!
— И всё-таки кое-какие выводы из этих слов можно сделать, — возразил Знайка. — Я точно знаю, что либо и Незнайка, и Кнопочка правы, либо оба ошибаются.
Кто же выпил арбузный сок, если известно, что Знайка всегда говорит правду и никогда не ошибается?
Решение.
Утверждения Знайки всегда истинны, значит возможны только 2 случая.
1-ый случай. Допустим Незнайка и Кнопочка правы, т.е. истинны оба высказывания:
"Сок выпил Пончик" (1), "Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт"(2).
Из высказывания Незнайки (2) следует: "Звёздочка и Авоська говорят правду" (3) - ложь, "Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду" (4) - истина.
(3) ложно, а значит лжет или Звездочка, или Авоська.
(4) истинно, следовательно хотя бы одно из высказываний: "Звёздочка и Растеряйка говорят правду" или "Звёздочка и Мушка говорят правду" является истинным (или оба этих высказывания одновременно). Но в каждом из них утверждается, что Звездочка говорит правду, а значит (3) может быть ложным только тогда, когда врет Авоська. Следовательно, утверждение Авоськи "либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы" ложно. Т.е. ни Мушка, ни Растеряйка правды не говорят.
Но это противоречит истинности утверждения (4).
2-ой случай. Допустим Незнайка и Кнопочка неправы, т.е. ложны высказывания:
"Сок выпил Пончик" (5), "Небоська говорит правду (6), а Пёстренький врёт (7)".
Из ложности высказывания Кнопочки - очень простое следствие: сок выпил не Пончик, а Сиропчик. А вот высказывание Незнайки состоит из двух, значит либо одно из высказываний Незнайки (6) или (7) ложно, либо ложны оба высказывания сразу. Нетрудно видеть, что в случае, когда (6) и (7) ложны одновременно, мы опять придем к противоречию.
а) Пусть ложно (6) и истинно (7), тогда Небоська и Пестренький врут, т.е. утверждение "либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду"(8) - ложь и утверждение "Звёздочка и Авоська говорят правду"(9) - ложь. Из того, что (8) ложно, следует: ни Гунька, ни Торопыжка не говорят правды; из того, что (9) ложно, следует: или Звездочка лжет, или Авоська.
Утверждения Торопыжки и Гуньки "Звёздочка и Растеряйка говорят правду" (11) или "Звёздочка и Мушка говорят правду" (12) - ложны. (11) ложно, если врет или Звездочка, или Растеряйка, (12) ложно, если врет или Звездочка, или Мушка.
Следовательно, чтобы (5) было ложным, (6) ложным, а (7) истинным достаточно, чтобы Звездочка и Растеряйка сказали неправду. Противоречий с условием задачи в данном случае нет.
б) Пусть (6) истинно и (7) ложно, тогда Небоська и Пестренький говорят правду, т.е. утверждение "либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду"(8) - истинно и утверждение "Звёздочка и Авоська говорят правду"(9) - истинно. (8) означает, что истинно утверждение "Звёздочка и Растеряйка говорят правду", либо истинно "Звёздочка и Мушка говорят правду", либо истинны оба этих утверждения одновременно. Из того, что (9) истинно следует, что утверждение "либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы" также истинно.
Однако, утверждение Растеряйки противоречит тому, что сок выпил Сиропчик. Следовательно, чтобы (5) было ложным, (6) истинным, а (7) ложным достаточно, чтобы Звездочка и Мушка сказали правду, а Растеряйка - неправду. Противоречий с условием задачи в данном случае также не будет.
Выполняется только случай 2, а значит сок выпил Сиропчик.
Ответ: Сиропчик.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/logizad.pdf
(«Покори Воробьёвы горы!», 2013, 10–11) В один прекрасный день Цветочный город был взбудоражен известием: кто-то выпил все запасы арбузного сока! В ходе разбирательства выяснилось, что виновен либо Пончик, либо Сиропчик (но не оба), но коротышки никак не могли решить, кто именно из двоих.
— Сок выпил Пончик, — заявила Кнопочка.
— А однажды он целую ракету украл, — поддержала её Звёздочка.
— Сиропчик никогда ничего не крал, — сказал Растеряйка.
— А ты, Растеряйка, каждый день теряешь вещи! — заявила Мушка.
— Звёздочка и Растеряйка говорят правду, — сказал Гунька.
— Звёздочка и Мушка говорят правду, — утверждал Торопыжка.
— Либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы, — высказал своё
мнение Авоська.
— Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду, — сказал Небоська.
— Звёздочка и Авоська говорят правду, — считал Пачкуля Пёстренький.
— Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт, — утверждал Незнайка.
— Я ничего не могу понять! — закричал Цветик. — Во всех этих словах нет никакого смысла!
— И всё-таки кое-какие выводы из этих слов можно сделать, — возразил Знайка. — Я точно знаю, что либо и Незнайка, и Кнопочка правы, либо оба ошибаются.
Кто же выпил арбузный сок, если известно, что Знайка всегда говорит правду и никогда не ошибается?
Решение.
Утверждения Знайки всегда истинны, значит возможны только 2 случая.
1-ый случай. Допустим Незнайка и Кнопочка правы, т.е. истинны оба высказывания:
"Сок выпил Пончик" (1), "Небоська говорит правду, а Пёстренький врёт"(2).
Из высказывания Незнайки (2) следует: "Звёздочка и Авоська говорят правду" (3) - ложь, "Либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду" (4) - истина.
(3) ложно, а значит лжет или Звездочка, или Авоська.
(4) истинно, следовательно хотя бы одно из высказываний: "Звёздочка и Растеряйка говорят правду" или "Звёздочка и Мушка говорят правду" является истинным (или оба этих высказывания одновременно). Но в каждом из них утверждается, что Звездочка говорит правду, а значит (3) может быть ложным только тогда, когда врет Авоська. Следовательно, утверждение Авоськи "либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы" ложно. Т.е. ни Мушка, ни Растеряйка правды не говорят.
Но это противоречит истинности утверждения (4).
2-ой случай. Допустим Незнайка и Кнопочка неправы, т.е. ложны высказывания:
"Сок выпил Пончик" (5), "Небоська говорит правду (6), а Пёстренький врёт (7)".
Из ложности высказывания Кнопочки - очень простое следствие: сок выпил не Пончик, а Сиропчик. А вот высказывание Незнайки состоит из двух, значит либо одно из высказываний Незнайки (6) или (7) ложно, либо ложны оба высказывания сразу. Нетрудно видеть, что в случае, когда (6) и (7) ложны одновременно, мы опять придем к противоречию.
а) Пусть ложно (6) и истинно (7), тогда Небоська и Пестренький врут, т.е. утверждение "либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду"(8) - ложь и утверждение "Звёздочка и Авоська говорят правду"(9) - ложь. Из того, что (8) ложно, следует: ни Гунька, ни Торопыжка не говорят правды; из того, что (9) ложно, следует: или Звездочка лжет, или Авоська.
Утверждения Торопыжки и Гуньки "Звёздочка и Растеряйка говорят правду" (11) или "Звёздочка и Мушка говорят правду" (12) - ложны. (11) ложно, если врет или Звездочка, или Растеряйка, (12) ложно, если врет или Звездочка, или Мушка.
Следовательно, чтобы (5) было ложным, (6) ложным, а (7) истинным достаточно, чтобы Звездочка и Растеряйка сказали неправду. Противоречий с условием задачи в данном случае нет.
б) Пусть (6) истинно и (7) ложно, тогда Небоська и Пестренький говорят правду, т.е. утверждение "либо Гунька, либо Торопыжка, либо они оба говорят правду"(8) - истинно и утверждение "Звёздочка и Авоська говорят правду"(9) - истинно. (8) означает, что истинно утверждение "Звёздочка и Растеряйка говорят правду", либо истинно "Звёздочка и Мушка говорят правду", либо истинны оба этих утверждения одновременно. Из того, что (9) истинно следует, что утверждение "либо Растеряйка, либо Мушка говорят правду, а может они оба правы" также истинно.
Однако, утверждение Растеряйки противоречит тому, что сок выпил Сиропчик. Следовательно, чтобы (5) было ложным, (6) истинным, а (7) ложным достаточно, чтобы Звездочка и Мушка сказали правду, а Растеряйка - неправду. Противоречий с условием задачи в данном случае также не будет.
Выполняется только случай 2, а значит сок выпил Сиропчик.
Ответ: Сиропчик.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/logizad.pdf
Комментариев нет:
Отправить комментарий