Задача.
В турнире принимали участие спортсмены из двух стран. Каждый с каждым играл ровно один раз. В конце турнира оказалось, что число игр, где соперники были из разных стран, равно числу игр, где соперники были соотечественниками. Сколько могло быть участников?
(A) 40 (Б) 57 (В) 63 (Г) 81 (Д) 99
Решение.
Пусть х - количество игроков, тогда каждый из х участников должен сыграть (х - 1) раз. В любой игре принимают участие двое, т.е. (х - 1) * x / 2 - общее количество игр.
По условию, ((х - 1) * x / 2 ) / 2 = (х - 1) * x / 4 - количество игр, где соперники были из разных стран, и (х - 1) * x / 4 - количество игр, где были соперники-соотечественники.
В турнире принимали участие спортсмены из двух стран. Каждый с каждым играл ровно один раз. В конце турнира оказалось, что число игр, где соперники были из разных стран, равно числу игр, где соперники были соотечественниками. Сколько могло быть участников?
(A) 40 (Б) 57 (В) 63 (Г) 81 (Д) 99
Решение.
Пусть х - количество игроков, тогда каждый из х участников должен сыграть (х - 1) раз. В любой игре принимают участие двое, т.е. (х - 1) * x / 2 - общее количество игр.
По условию, ((х - 1) * x / 2 ) / 2 = (х - 1) * x / 4 - количество игр, где соперники были из разных стран, и (х - 1) * x / 4 - количество игр, где были соперники-соотечественники.
Пусть у – число игроков из одной станы, тогда (х - у) – из другой. Количество игр,
которое у участников сыграли друг с другом, равно (у - 1) * у / 2. Аналогично, (х
- у - 1) * (х – у) / 2 – количество игр, которое сыграли между собой участники
из другой страны.
Составим уравнение:
Составим уравнение:
(у - 1) * у / 2 + (х - у - 1) * (х – у) / 2 = (х
- 1) * x / 4
4 * y2 – 4 * x * y + x2 –
x = 0
D = 16 x2 – 4 * 4 * (x2 –
x) = 16 * x
y = (x – √x) / 2 или у = (x +√x) / 2.
Согласно обозначениям, у должно быть целым числом, а
значит х должно быть квадратом целого числа. Среди предложенных вариантов
только 81 удовлетворяет этому условию.
Ответ: (Г) 81.
Ресурсы:
Комментариев нет:
Отправить комментарий