Задача. (Леонард Эйлер)
Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Невнимательный швейцар раздал шляпы случайным образом. Сколько существует вариантов, при которых каждый гость получил чужую шляпу?
Решение.
Первый способ.
Занумеруем гостей цифрами 1, 2, 3, 4 и так же занумеруем их шляпы. Считаем, что шляпа с данным номером принадлежит гостю с этим же номером (то есть, например, шляпа 2 принадлежит гостю 2).
Тогда каждый вариант получения шляп обозначается четырёхзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 4, в котором номер позиции цифры есть номер гостя, а сама цифра есть номер полученной им шляпы (номера позиций будем считать слева направо).
Например, комбинация 4132 означает, что первый гость получил четвёртую шляпу, второй — первую, третий — третью, а четвёртый — вторую. Такой вариант не годится по условию, поскольку третий получил свою шляпу.
Теперь понятно, что нужно сделать — выписать по возрастанию все четырёхзначные числа, содержащие по одной цифре 1, 2, 3 и 4, такие, что никакая цифра не стоит на позиции со своим номером. Красные цифры — номер позиции (номер гостя), с которым не должна совпадать цифра в соответствующем столбце (номер шляпы).
1234
2143
2341
2413
3142
3412
3421
4123
4312
4321
Как видим, всего имеется 9 вариантов нужной раздачи шляп.
Второй способ.
Пусть 1, 2, 3 и 4 - номера шляп гостей при входе в ресторан. При выходе эти шляпы выдаются в случайном порядке, т.е. номера шляп просто переставляются местами. 4 номера можно переставить 4! = 24 способами.
Из этих вариантов надо исключить те, при которых хотя бы одна шляпа окажется на свое месте.
1) Пусть 1 стоит на своем месте - исключаются 6 способов, т.к. остальные три шляпы с номерами 2, 3 и 4 переставляются в случайном порядке (3! = 6).
1234 1243 1324 1342 1423 1432
2) Пусть 2 стоит на своем месте - исключаются еще 6 - 2 = 4 способа.
Замечание. Во втором случае нужно исключить не 6 способов, как в первом, а меньше.
Если 2 стоит на своем месте, то остальные три шляпы с номерами 1, 3 и 4 переставляются в случайном порядке 6-ю способами, но 2 из них уже были учтены в пункте 1, когда шляпа №1 была на своем месте.
3214 3241 4213 4231
3) Аналогично, если 3 стоит на своем месте - исключаются еще 6 - 2 - 1 = 3 способа (3 из них уже были учтены в пунктах 1 и 2, когда шляпа №3 была на своем месте).
2134 4132 2431
4) Если 4 стоит на своем месте, то исключаются 6 - 2 - 1 - 1 = 2 способа.
Значит, количество вариантов, при котором каждый гость получил чужую шляпу равно:
24 - 6 - 4 - 3 - 2 = 9.
Ответ: 9 вариантов.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/perevari.pdf
Четыре гостя при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Невнимательный швейцар раздал шляпы случайным образом. Сколько существует вариантов, при которых каждый гость получил чужую шляпу?
Решение.
Первый способ.
Занумеруем гостей цифрами 1, 2, 3, 4 и так же занумеруем их шляпы. Считаем, что шляпа с данным номером принадлежит гостю с этим же номером (то есть, например, шляпа 2 принадлежит гостю 2).
Тогда каждый вариант получения шляп обозначается четырёхзначным числом, составленным из цифр 1, 2, 3 и 4, в котором номер позиции цифры есть номер гостя, а сама цифра есть номер полученной им шляпы (номера позиций будем считать слева направо).
Например, комбинация 4132 означает, что первый гость получил четвёртую шляпу, второй — первую, третий — третью, а четвёртый — вторую. Такой вариант не годится по условию, поскольку третий получил свою шляпу.
Теперь понятно, что нужно сделать — выписать по возрастанию все четырёхзначные числа, содержащие по одной цифре 1, 2, 3 и 4, такие, что никакая цифра не стоит на позиции со своим номером. Красные цифры — номер позиции (номер гостя), с которым не должна совпадать цифра в соответствующем столбце (номер шляпы).
1234
2143
2341
2413
3142
3412
3421
4123
4312
4321
Как видим, всего имеется 9 вариантов нужной раздачи шляп.
Пусть 1, 2, 3 и 4 - номера шляп гостей при входе в ресторан. При выходе эти шляпы выдаются в случайном порядке, т.е. номера шляп просто переставляются местами. 4 номера можно переставить 4! = 24 способами.
Из этих вариантов надо исключить те, при которых хотя бы одна шляпа окажется на свое месте.
1) Пусть 1 стоит на своем месте - исключаются 6 способов, т.к. остальные три шляпы с номерами 2, 3 и 4 переставляются в случайном порядке (3! = 6).
1234 1243 1324 1342 1423 1432
2) Пусть 2 стоит на своем месте - исключаются еще 6 - 2 = 4 способа.
Замечание. Во втором случае нужно исключить не 6 способов, как в первом, а меньше.
Если 2 стоит на своем месте, то остальные три шляпы с номерами 1, 3 и 4 переставляются в случайном порядке 6-ю способами, но 2 из них уже были учтены в пункте 1, когда шляпа №1 была на своем месте.
3214 3241 4213 4231
3) Аналогично, если 3 стоит на своем месте - исключаются еще 6 - 2 - 1 = 3 способа (3 из них уже были учтены в пунктах 1 и 2, когда шляпа №3 была на своем месте).
2134 4132 2431
4) Если 4 стоит на своем месте, то исключаются 6 - 2 - 1 - 1 = 2 способа.
Значит, количество вариантов, при котором каждый гость получил чужую шляпу равно:
24 - 6 - 4 - 3 - 2 = 9.
Ответ: 9 вариантов.
Ресурсы:
http://mathus.ru/math/perevari.pdf
Комментариев нет:
Отправить комментарий