Задача.
Вася выписал в тетрадь 30 различных целых чисел, каждое возвел либо в квадрат, либо в куб и записал полученные 30 результатов на доске. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?
(A) 1 (Б) 6 (В) 10 (Г) 15 (Д) 30
Решение.
По условию, в квадрат и в куб возводятся 30 различных чисел.
Сократить количество разных чисел в результате этого действия можно двумя способами:
1) если значения квадратов и кубов попарно совпадают, т.е. если два различных числа вида а2 и а3 возводятся соответственно в 3-ю и во 2-ю степени, то получаются равные результаты:
(а2)3 = а6 и (а3)2 = а6;
2) если в квадрат возводятся пары положительных и отрицательных целых чисел, равных по модулю: (-а3)2 = а6 и (а3)2 = а6.
Если Вася выписал в тетрадь 10 троек чисел вида -а3, а2, а3, то в результате возведения их в квадрат или в куб получилось 10 троек чисел вида а6, т.е. всего 10 различных результатов.
Ответ: (В) 10.
Ресурсы:
https://mathkang.ru/files/file/K-2015/kenguru_2015_class_9-10.pdf
Вася выписал в тетрадь 30 различных целых чисел, каждое возвел либо в квадрат, либо в куб и записал полученные 30 результатов на доске. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?
(A) 1 (Б) 6 (В) 10 (Г) 15 (Д) 30
Решение.
По условию, в квадрат и в куб возводятся 30 различных чисел.
Сократить количество разных чисел в результате этого действия можно двумя способами:
1) если значения квадратов и кубов попарно совпадают, т.е. если два различных числа вида а2 и а3 возводятся соответственно в 3-ю и во 2-ю степени, то получаются равные результаты:
(а2)3 = а6 и (а3)2 = а6;
2) если в квадрат возводятся пары положительных и отрицательных целых чисел, равных по модулю: (-а3)2 = а6 и (а3)2 = а6.
Если Вася выписал в тетрадь 10 троек чисел вида -а3, а2, а3, то в результате возведения их в квадрат или в куб получилось 10 троек чисел вида а6, т.е. всего 10 различных результатов.
Ответ: (В) 10.
Ресурсы:
https://mathkang.ru/files/file/K-2015/kenguru_2015_class_9-10.pdf
Логично! Красиво!
ОтветитьУдалить