Квадрат из 100 чисел (5-6 класс)

Задание.
Квадрат со стороной 10 см разделён на 100 квадратов со стороной 1 см, и в каждом из них записано одно из трёх чисел 1, 2 или 3. После этого подсчитали суммы записанных чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей получившейся таблицы. Может ли оказаться, что все подсчитанные суммы будут различными?
Решение.

Если можно брать только 1, 2 или 3, то максимальная сумма, которая может получиться при сложении 10 таких чисел, равна 30 (т.е. когда в строке или в столбце складываются только 3). Минимальная сумма равна 10 (т.е. когда складываются только 1). Очевидно, что сумма 10 таких чисел изменяется от 10 до 30. Значит, количество чисел, которые могут получиться при суммировании, равно 21 (10,11,12,…., 30).

Но, чтобы все суммы в столбцах, строках и диагоналях были различными, нам нужно 22 разных числа (10 для строк, 10 для столбцов и 2 для диагоналей). Одного числа, чтобы все суммы были различными, не хватает.

Значит, не может оказаться, что все подсчитанные суммы в строках, столбцах и диагоналях будут различными.

Ответ: не может.