Парные суммы (5-6 класс)

Задание.
Найдите 5 чисел, у которых попарные суммы равны 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 18.
Решение. 

Слагаемые, из которых составлены попарные суммы, не могут быть равными числами, т.к. все суммы различны.

Сложим попарные суммы 5+7+8+9+10+12+13+14+16+18=112.

Каждое из 5 чисел суммируется с 4-мя остальными (например: а+в, а+с, а+х, а+у), значит каждое число встречается в попарных суммах 4 раза. При сложении всех попарных сумм получается, что все числа являются слагаемыми по 4 раза, т.е. 4*(а+в+с+х+у)==112 или  а+в+с+х+у=28.

Предположим, что попарные суммы 5 и 18 состоят из разных чисел, например из а+в=5 и х+у=18. Тогда с=28-5-18=5.

Первую сумму 5 можно составить из пар чисел 0;5 или 1;4 или 2;3. Пара 1;4 не подходит, т.к. 1+5=6, а такой попарной суммы по условию задачи нет. Пара 0;5 не подходит, т.к. слагаемые не должны быть равны. Значит, подходят числа 2;3.

По нашему предположению сумма 18 не составлена из слагаемых 2,3,5. Значит, возможные пары слагаемых 0;18 или 4;14 или 6;12 или 7;11 или 8;10. Пары 0;18 и 4;14 и 6;12 и 8,10 не подходят т.к. среди данных попарных сумм нет числа 23, а 18+5=23, нет числа 19, а 14+5=19, нет числа 17, а 5+12=17 и нет числа 15, а 10+5=15.  Значит, 18 состоит из чисел 11 и 7.

Итак, найдены слагаемые 2,3,5,7 и 11.

Проверка:

2+3=5; 2+5=7; 3+5=8; 2+7=9; 3+7=10; 5+7=12; 2+11=13; 3+11=14; 5+11=16; 7+11=18.

Ответ: 2,3,5,7 и 11.