Значки (7-8 класс)

Задание.
В день рождения каждому из трех детей дарят значки, причем столько, сколько лет исполнится. Через некоторое время у детей собралось 34 значка. Найдите возраст каждого.
Решение. 
1-й способ.

Составим таблицу 1, сколько значков у одного ребенка в разном возрасте:

Таблица 1

возраст, лет	1	2	3	4	5	6	7
количество значков, шт.	1	1+2=3	3+3=6	6+4=10	10+5=15	15+6=21	21+7=28

Если ребенку исполнится 8 лет, то у него одно будет 36 значков, это больше 34. А значит, все дети младше 8 лет.

Пусть х, у и z – количество значков у первого, второго и третьего ребенка соответственно. По условию, х+у+z=34, отсюда z=34-х-у. Составим таблицу 2 значений z при всех значениях х и у из таблицы 1.

Таблица 2

Z также может принимать значения только из таблицы 1.  Поэтому условию задачи соответствуют только 2 тройки чисел (х,у,z): (3,3,28) и (3,10,21). (3,3,28) - количество значков соответствует возрасту детей 2 года, 2 года и 7 лет.

(3,10,21) - количество значков соответствует возрасту детей 2 года, 4 года и 6 лет соответственно.

2-й способ.

По условию, в 1 год ребенок получает 1 значок.
К 2 годам – 1+2=3 значка;
К 3 годам – 1+2+3=6 значков;
К 4 годам – 1+2+3+4=10 значков;
К 5 годам – 1+2+3+4+5=15 значков;
К 6 годам – 1+2+3+4+5+6=21 значок;
К 7 годам – 1+2+3+4+5+6+7=28 значков;
К 8 годам – 1+2+3+4+5+6+7+8=36 значков.
Так как всего у троих детей 34 значка, то больше 7-ми не может быть ни одному из них. Предположим, старшему 7 лет. То есть у него 28 значков. Тогда у двоих оставшихся детей всего 34-28=6 значков. Это может быть, только если им по 2 года и у них по 3 значка. В условии не говорится о том, что возраст детей не может совпадать (например, близнецы). Следовательно, возможно, что детям 7 лет, 2 года, 2 года.
Предположим, старшему 6 лет. То есть у него 21 значок. Тогда у двоих оставшихся 34-21=13 значков. Это может быть, если среднему 4 года (10 значков), а младшему – 2 года (3 значка). Следовательно, возможно, что детям 5 лет, 4 года, 2 года.

Предположим, старшему 5 лет. То есть у него 15 значков. Тогда у двоих оставшихся 34-15=19 значков. Однако из чисел 1,3,6,10,15 нельзя выбрать пару таких, чья сумма равнялась бы 19.
34/3=11 1/3,11 1/3>10 → у старшего брата должно быть больше 11 значков → ему > больше 4 лет. Значит, все возможные варианты мы рассмотрели. 

Ответ: 1) 2 года, 2 года, 7 лет; 2) 2 года, 4 года и 6 лет.