Улитка на колонне

Задача.
(«Высшая проба», 2013, 11 ) Улитка, имеющая постоянную скорость 40 см/ч, начала ползти по цилиндрической колонне из точки A. Каждые 15 минут она поворачивала поочерёдно то влево, то вправо на 90◦, а всё остальное время ползла прямо. (Углы и длины измеряются на плоской развёртке колонны.) Через 1 час 45 минут после начала путешествия улитка заметила, что снова оказалась в точке A, а через 12,5 часов после начала путешествия захотела вернуться в точку A по кратчайшему пути, уже никуда не сворачивая. Какое расстояние ей придётся проползти?

Решение.
1) Улитка проползает 40 см/ч, значит за 15 минут (¼ часа) она проползет 10 см, т.е после каждых 10 см пути по прямой улитка поворачивала поочерёдно то влево, то вправо на 90◦.
За 1 час 45 минут она проползла 7 таких участков (1 час 45 минут / 15 минут = 7). При этом она снова оказалось в точке А.
Изобразим движение улитки на плоской развертке (на ней обозначены две точки А, в пространстве на цилиндрической колонне это, разумеется, одна точка А):

12,5 часов / 1 час 45 минут = 12,5 часов / 1,75 часа = 7 1/7

Т.е. за 12,5 часов улитка 7 раз проделает путь, равный 7 участкам по 10 см, и пройдет еще один участок А^IIIВ, равный 10 см . При этом учитываем, что все нечетные пути из 7 участков по 10 см приводят улитку в ту же точку на колонне, а все четные пути приводят к смещению ее положения на 10 см вниз и на 10 см влево: 2) АА^I, 4) A^IA^II, 6) A^IIA^III. В результате смещение в точку A^III из точки А за 12 часов 15 минут - это перемещение на 30 см вниз и на 30 см влево, а из точки A^III в точку В за последние 15 минут - еще на 10 см влево.  

Т.е. АС = 30 см, ВС = 40 см.

Чтобы вернуться из точки В в точку А, улитка должна будет ползти по прямой отрезок АВ.

Его длина по теореме Пифагора равна:

АВ = √(АС² + ВС²⁾

АВ = √(30² + 40²) = 50 (см)

Ответ: 50 см.