Сумма трех квадратов

Задача.

Автор: Слитинский В.В.

Известно, что число n является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

Решение.

Для трех натуральных чисел, суммой квадратов которых является число n, выберем обозначения a,b,c так, чтобы соблюдалось условие a ≥ b ≥ c. Тогда: 

1) n = a² + b² + c²  ;

2) a² + b² – c² > 0, т.е. a² + b² – c² также является натуральным числом.  

Можно n² преобразовать следующим образом:

 n² = (a² + b² + c²)² = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2b²c² + 2a²c² = (a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² – 2b²c² – 2a²c²) + 4b²c² + 4a²c² = (a² + b² – c²)² + (2bc)² + (2ac)².

Ресурсы:

Задача 107978

http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=107978