Задача.
Бумажный треугольник с углами 20◦, 20◦, 140◦ разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?
Решение.
При каждом разрезании происходят следующие изменения: один из углов становится вдвое меньше (разрез по биссектрисе), другой угол сохраняет свою величину (напротив разреза), третий угол увеличивается настолько, насколько уменьшился первый (на половину градусной меры первого угла).
Предположим, что треугольник, подобный исходному, с углами 20◦, 20◦, 140◦ удалось получить. Тогда предыдущий треугольник обладал следующими свойствами: один из углов был вдвое больше, один из углов был такой же величины, один из углов был меньше. Соблюдая алгоритм перехода к предыдущему треугольнику, попробуем прийти к исходному.
1) Треугольник с углами 20◦, 20◦, 140◦ получится из треугольника с углами 40◦, 20◦, 120◦ (угол 140◦ увеличится вдвое не может, угол 20◦ уменьшится на 20◦ не может, вариант разреза - единственный).
2) Треугольник с углами 40◦, 20◦, 120◦ получится из треугольника с углами 40◦, 40◦, 100◦ или из 80◦, 20◦, 80◦ (угол 120◦ увеличится вдвое не может). Рассмотрим оба случая.
3.1) Треугольник с углами 40◦, 40◦, 100◦ получится из треугольника с углами 80◦, 40◦, 60◦ (угол 100◦ увеличится вдвое не может, угол 40◦ уменьшится на 40◦ не может, вариант разреза - единственный).
3.2) Треугольник с углами 80◦, 20◦, 80◦ получится из треугольника с углами 80◦, 40◦, 60◦ (угол 80◦ увеличится вдвое не может, один из углов 20◦ или 80◦ должен сохранится неизменным, а 20◦ + 160◦ и 80◦ + 160◦ больше 180◦, вариант разреза - единственный).
4) Значит, на третьем этапе может быть только треугольник с углами 80◦, 40◦, 60◦ в обоих случаях. Он получится из треугольника с углами 20◦, 40◦, 120◦ или из треугольника с углами 40◦, 40◦, 100 (угол 80◦ увеличится вдвое не может, один из углов 40◦ или 60◦ должен сохранится неизменным, а 40◦ + 160◦ и 60◦ + 160◦ больше 180◦ ).
Оба возможных варианта (треугольник с углами 20◦, 40◦, 120◦ или треугольник с углами 40◦, 40◦, 100) уже встречались на предыдущих этапах алгоритма. Значит, к исходному треугольнику с углами 20◦, 20◦, 140◦ прийти нельзя.
Ответ: не может.
Ресурсы:
http://olympiads.mccme.ru/mmo/books/mmo-93-05.pdf
Бумажный треугольник с углами 20◦, 20◦, 140◦ разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?
Решение.
При каждом разрезании происходят следующие изменения: один из углов становится вдвое меньше (разрез по биссектрисе), другой угол сохраняет свою величину (напротив разреза), третий угол увеличивается настолько, насколько уменьшился первый (на половину градусной меры первого угла).
Предположим, что треугольник, подобный исходному, с углами 20◦, 20◦, 140◦ удалось получить. Тогда предыдущий треугольник обладал следующими свойствами: один из углов был вдвое больше, один из углов был такой же величины, один из углов был меньше. Соблюдая алгоритм перехода к предыдущему треугольнику, попробуем прийти к исходному.
1) Треугольник с углами 20◦, 20◦, 140◦ получится из треугольника с углами 40◦, 20◦, 120◦ (угол 140◦ увеличится вдвое не может, угол 20◦ уменьшится на 20◦ не может, вариант разреза - единственный).
2) Треугольник с углами 40◦, 20◦, 120◦ получится из треугольника с углами 40◦, 40◦, 100◦ или из 80◦, 20◦, 80◦ (угол 120◦ увеличится вдвое не может). Рассмотрим оба случая.
3.1) Треугольник с углами 40◦, 40◦, 100◦ получится из треугольника с углами 80◦, 40◦, 60◦ (угол 100◦ увеличится вдвое не может, угол 40◦ уменьшится на 40◦ не может, вариант разреза - единственный).
3.2) Треугольник с углами 80◦, 20◦, 80◦ получится из треугольника с углами 80◦, 40◦, 60◦ (угол 80◦ увеличится вдвое не может, один из углов 20◦ или 80◦ должен сохранится неизменным, а 20◦ + 160◦ и 80◦ + 160◦ больше 180◦, вариант разреза - единственный).
4) Значит, на третьем этапе может быть только треугольник с углами 80◦, 40◦, 60◦ в обоих случаях. Он получится из треугольника с углами 20◦, 40◦, 120◦ или из треугольника с углами 40◦, 40◦, 100 (угол 80◦ увеличится вдвое не может, один из углов 40◦ или 60◦ должен сохранится неизменным, а 40◦ + 160◦ и 60◦ + 160◦ больше 180◦ ).
Оба возможных варианта (треугольник с углами 20◦, 40◦, 120◦ или треугольник с углами 40◦, 40◦, 100) уже встречались на предыдущих этапах алгоритма. Значит, к исходному треугольнику с углами 20◦, 20◦, 140◦ прийти нельзя.
Ответ: не может.
Ресурсы:
http://olympiads.mccme.ru/mmo/books/mmo-93-05.pdf
Комментариев нет:
Отправить комментарий