Высота в равнобедренном треугольнике

Задача.
В треугольнике ABC АС = ВС = 25√21, sin BAC = 0,4. Найдите высоту АН.

Решение.

Первый способ.
1) Найдем площадь треугольника АВС:

S ABC = ½ AC*BC* sin ACB = ½ AH*BC   ⇒ AC*sin ACB = AH.

2) Углы BAC = CAB, т.к. треугольник ABC – равнобедренный.

Угол ACB = 180 - 2 *BAC

sin ACB = sin (180 - 2 *BAC) = sin (2 *BAC) =

= 2 * sin BAC * cos BAC = 2 * sin BAC * √ (1 - sin² BAC)

3) Из 1), 2) ⇒ AH = 2 * AC* sin BAC * √ (1 - sin² BAC)

AH = 2 * 25√21 * 0,4 * √ (1 - 0,4²) = 25√21*0,8*√ 0,84 = 20√21* 0,2√21 = 84.

Второй способ.

1) В прямоугольном треугольнике AHС: sin ACB = AH/АС ⇒ AC*sin ACB = AH.

2) Углы BAC = CAB, т.к. треугольник ABC – равнобедренный.

Угол ACB = 180 - 2 *BAC

sin ACB = sin (180 - 2 *BAC) = sin (2 *BAC) = 

= 2 * sin BAC * cos BAC = 2 * sin BAC * √ (1 - sin² BAC)

3) Из 1), 2) ⇒ AH = 2 * AC* sin BAC * √ (1 - sin² BAC)

AH = 2 * 25√21 * 0,4 * √ (1 - 0,4²) = 25√21*0,8*√ 0,84 = 20√21* 0,2√21 = 84.

Ответ: AH = 84.